初中数学“促进式教学”的课堂实践描述——以苏科版七下“平方差公式”教学为例

章晓东

“促进式教学”是指面对性格各异的学生，整合各种教学资源，创设和谐的学习氛围，构建真实的问题情境，以“促进”为主要方式和发展维度的一种教学范式。开展“促进式教学”，做学生学习力的“促进者”，是以促进式教学的方式、方法、策略为操作系统，以师生促进、生生促进、媒介促进、自我促进、评价促进为主要手段，创设情境激发学习动力，设置疑难培养学习毅力，借助系列思维活动锤炼学习耐力，最终提升学生学习力。

“学习只能促进，教师只是一个促进者。”这应是每个教师的共识。具体而言，教师应培育学生学习动力，促进学生“乐学”；培育学生学习毅力，促进学生“学会”；培育学生学习能力，促进学生“会学”。

在促进式教学的课堂实践中，我一直在尝试一种“四步促进教学法”。主要是由“预学—尝试—互动—反馈”四个相互连接、层层推进的课堂教学环节组成，以“小步子快进式的多次反馈”为主线，以“主动、生动、互动”为特征，体现师对生、生对生的“引导、引领、引申”为特点的科学的促进式教学方式。

下面以苏科版七年级数学下“平方差公式”的教学设计为例进行课堂实践的描述。

一、备课设计

在备课设计上要体现促进式教学“起点低、步子紧、落点高”的分层递进特征。首先要“起点低”。备课设计要面向全班各层次的学生，基础题占比要达到70%，当然也要根据班级学情的变化而调整，真正做到以学定教，依学而教，学习目标的逻辑起点瞄准基础最差的后十位学生，下要保底，即达到课程标准对本节课的基本要求，这是备课的重点；其次要“步子紧”。例习题（问题）的设计，要在各层次学生有收获的基础上逐步提高要求，变式训练，分层递进，分层提高，中等题占比要在20%左右，如本课中以“迈小步、不停步”逐级提高的方式，把平方差公式的运用提高到自主编题的要求；最后是“落点高”。不仅高在知识的层次上，还体现在数学思想和方法论的运用与提炼上，对学有余力的学生进一步提高思维的难度，有一定的思维挑战性，如本课中的拓展反馈题，通过“等面积法”来说明平方差公式。

据此设定本课的学习目标与要求：学生自主探索平方差公式，了解公式的几何背景，发展符号感和推理能力；学生能掌握平方差公式的结构特点。重点是熟练运用平方差公式进行简单的计算和推理；难点是理解平方差公式的特征。

二、课堂实施

1.预学。

“预学”是教师引导学生发现问题的过程，是学生进入学习状态的教师促进过程。“平方差公式”一课向学生提出预学的目标及要求：一是自学课本，理解平方差公式的产生过程及几何背景，写出平方差公式；二是尝试用文字说明平方差公式中等式左边和右边的特征；三是会做例题，在自学的过程中将疑惑写下来。预学既是借助学案和书本教学媒介的促进式学习，也是学生独立尝试学习的前提，更是一种内省式的自我促进。可见，师生促进的核心是创设情境，目标引学，主要帮助学生选择并确定学习内容，安排适当的学习活动和材料；创设丰富的教学情境，充分调动学生的前经验和学习积极性；帮助学生发现所学东西的价值，建立并维持能促进学习的心理气氛；师生促进，适合课前、课中、课后三个时间节点。

2.尝试。

“尝试”是学生独立解决问题的过程，是学生开始进入深度学习的自我促进过程。考虑到班级学生在学习上的差异性比较大，按照备课的设计，学习的逻辑起点选择在班级最后十名学生的学习基础上。包含两个方面的内容：一是学生自学教材，能初步独立尝试解决学案稿上少量非常基础的问题，甚至比例题的要求还低一点的问题；二是适当进行个别指导，教师重点放在辅导基础较弱的学生身上，帮助他们掌握预学的基本方法。这一环节的时间一般安排6分钟左右，这里的自我促进需要达到的效果是，学困生能初步尝试略低于例题难度的基础题，促进学生初步树立学习信心；中等生能独立解决例题，促进学生进一步学习的欲望；学优生不仅快速解决例题，还能理解问题本质属性，促进学生开始进入深度学习的状态。

以下是尝试用平方差公式计算的习题。（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）。

不难看出，前3 题的设计难度要低于例题的要求，通过尝试练习，适当变换字母与形式，促进学生的成功体验，第（4）题的设计难度与例题一致。

“自我促进”的关键是先学自研，内省体悟。所有的先学，都来自对数学文本的研读，而通过研读来促进元认知的展开，为尝试练习打下基础。

3.互动。

“互动”是师生合作“解决问题”的过程，是生生促进、师生促进深度学习的过程。这是课堂的主干部分，时间在20 分钟左右。教师以“学习小组”为单位，组织学生相互问答，批阅“预学尝试题”，互动探究，相互矫正，互通有无，优势互补。教师的讲解突出重点、难点和疑点。反馈要体现变化、变动、变式，要求是“小步子快进”式的提高。本环节教学设计如下。

（1）与同伴交流你的计算过程和结果，特别要交流你在自学和尝试练习中的启发和困惑。

（2）计算：①（x+3）（x-3）；②（x+3）（x-2）；③（2x+3）（2x-3）；④（-m+2n）（-m-2n）；⑤（m+n）（-m+n）；⑥（x2+3）（x2-3）。

（3）以上的练习，你有何启发？与你的同伴交流。说说如何正确使用平方差公式？

互动促进的过程也是快速反馈的过程，题目的设计遵循“小步子快进”的方式逐级提高难度，（2）中第②题特意设计一个“陷阱”，部分学生会误用公式，得出x2-6 的错误结果，从而加深学生对平方差公式本质特征的认识。

（4）如何快速判断下列各式能否用平方差公式计算？

①（a+b）（a-b）；②（a+b）（-a+b）；③（-a+b）（-a-b）；④（-a-b）（a-b）；⑤（-a+b）（a-b）；⑥（a+b）（b-a）；⑦（a+b）（-a-b）；⑧（b-a）（a-b）。

（5）交流：能否找到快速判断的方法？能否把平方差公式编成口诀？

课堂实践证明，（4）中的8 个小题，能够一次性快速判断全对的学生还真不多，非常容易判断失误，根本的原因还在于学生对平方差公式的本质特征没有真正理解。在学生独立思考的基础上，通过生生互动、师生互动促进深刻理解，即前后两个多项式必须有两项完全相同，两项互为相反项，符合这个本质特征才可以用平方差公式计算。如果把完全相同的项看作“头”，那么互为相反项看作“尾”，平方差公式就可以编成口诀“头尾和乘头尾差，头平方减尾平方”。所有的这些结论都不能由教师直接告诉学生，而是要让学生通过互动促进来认识和理解。通过第（4）道题的互动促进，学生对平方差公式特征的认识就有了质的飞跃，引发了学生思维的高潮。

4.反馈。

“反馈”是学生“矫正问题”的过程，是学生对学习结果的评价促进过程。评价促进的关键是矫正激励，拓展迁移。评价的根本目的，是激发学生的学习情趣，充实学生的学习历程，改进学生的学习方法。预学尝试的结果是一种自我评价的促进；互动也是一种“生生评价”和“师生评价”的促进；最后的反馈检测是一种形成性的评价促进，可以说，评价无处不在，无时不在，评价本质上是一种促进，促进学生个体对数学学习过程与结果的反思，对数学思想与方法论的理解与感悟。本环节教学设计如下。

（1）判断下列计算是否正确。

①（2a-3b）（2a-3b）=4a2－9b2（）

②（x+2）（x-2）=x2－2 （）

③（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）

④（x+3）（x-2）=x2－6 （）

⑤（-x-y）（x+y）=-x2-y2（）

（2）写出与（-a+b）相乘能利用平方差公式进行计算的因式________________。

（3）计算①（x-3）（x+3）（x2+9）；②（a+2）（a-2）-（a-1）（a+5）。

这种“短平快”的小题训练，让学生快速地达成基础性学习目标，让各个层次的学生都享受成功的快乐，学困生的成功体现在准确率上，中上游学生的成功体现在准确率和速度上，即以快反馈评价促进学生的高效学习。

（4）编题。请同学们和老师一起来编题，要求每人编几个可以运用平方差公式来计算的多项式乘法，看谁编得好。

编题的过程又是自我促进、互动促进、评价促进的过程，学生不仅会进一步加深对平方差公式本质特征的认识，而且还能创编出新的题型，如在具体课堂实践中，学生就编出了（x2-4）（x2+4），（3a+2b+c）（3a+2b-c）两道题，而后者恰好是平方差公式第二课时涉及的内容，学生就要思考如何把三项乘三项转变成符合平方差公式特征的两项乘两项，我们不妨顺势而为，生成变式：（3a-2b+c）（3a+2b-c），（3a-2b-c）（3a+2b+c），（3a-2b+c）（3a+2b+c），（3a-2b+c）（3a-2b+c），其中最后一题（3a-2b+c）（3a-2b+c）的编拟是为了打破学生的思维定势，要解答它，需要运用完全平方公式。这样就让学生带着更多生成的问题走出课堂，让学生的思维有更深的卷入与批判。促进式教学的数学课堂是师生、生生有效互动、动态生成的过程，自然会产生许多学习信息与教学资源。这就需要教师在课堂中善于捕捉、筛选信息，把握动态生成的机会，巧妙利用生成的有价值的资源，进行生成性教学。

（5）拓展迁移。如图，从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为________，说说理由。

拓展迁移体现“落点高”的能力要求，主要是为学有余力的学生设计的，也有可能是师生互动中产生的要求较高的问题。对中等生来说则要逐步让他们了解解题的思路，对学优生来说是一个掌握方法，提高能力的过程，时间不宜长，一般安排3～5 分钟。

（6）交流分享。①你有什么收获想和大家说？②你有什么困惑想和老师说？

促进式教学以学生积极参与学习过程为中心，围绕课堂中的人际关系，整节课或课的一个部分呈现四个环节：师生促进—创设情境，目标引学；自我促进—预学尝试，内省体悟；生生促进—互动探究，深度学习；评价促进—矫正激励，拓展迁移。这几种促进方式并不存在严格的时间序列，它们可以一一开展，也可以交织并行。我们知道，最鲜活的、个性化的教育思想，一定是从实践的土壤中生长起来的。在课堂实践中，我们开展了促进式教学的学科思考、内容选择、方法考量、评价操作等一系列的实证研究，发现师生、生生、自我促进是教学的最佳交往模式，并且伴随始终的是评价促进，最高境界是学生的自我促进。

教学的促进是一种过程，更是一种理念，它不仅重视知识的落实，更崇尚智慧的教学；促进的过程是教师、学生、文本三者之间一种双向互动的对话、合作、探究、共享的活动过程；促进式教学追求的是在落实基本知识的基础上，进一步培养和提高学生的主动探究和拓展创造的能力，从而养成自主、自觉、自立的学习习惯，最终实现课堂教学质量和学生学科核心素养的提升。