直观引发归纳　转化明晰算理

2020-05-15陈为强

辽宁教育·教研版 2020年4期

谈起推理，很多人不由自主地想起中学几何证明中的演绎推理，其实推理并不是中学几何的“专利”，它在数学的其他领域也被广泛运用。然而，计算教学中的推理运用往往被师生所忽略和遗忘，本文仅以人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“小数乘小数”为例，谈谈归纳推理和演绎推理在计算教学中的有效运用。

一、借助几何直观，进行归纳推理

借助几何直观能把抽象的结论变得形象化、可视化。六年级的“分数乘以分数”几何模型的呈现方式可使学生很形象地理解“分数乘分数”计算的算理和算法。利用小数和分数的密切关系，借鉴这种几何直观图，可使学生对小数乘以小数的计算结果从直观感知走向直观理解，进而引发直观猜测、直观推理。

如可以出示探索题：王老师家装修房子，购买了一种长0.6米，宽0.4米的长方形瓷砖，每块瓷砖的面积是多少平方米？

师：怎样列式计算？

生：0.6×0.4= 。

师：这道题与以前的小数乘法有什么区别？

生：以前学的是小数乘整数，这题两个数都是小数。

师：这就是今天要学习的内容“小数乘小数”（板书课题），你会算吗？（学生尝试）

生：0.6×0.4=2.4，因为0.6和0.4都是一位小数，所以乘积也是一位小数为2.4。

生：0.6×0.4=0.24，因为0.6米=6分米，0.4米=4分米，6×4=24（平方分米），24（平方分米）=0.24（平方米）。所以0.6×0.4=0.24。

师：哪位同学明白他的方法？

生：他是把小数乘法借助单位换算转化为整数乘法，算完后又把单位换算回来的。

师：这位同学很善于发现别人的闪光点，还有别的方法吗？下面的图你能看懂吗？

生：这是一个边长为1米的正方形，阴影部分是长6分米，宽4分米的小长方形，其面积占大正方形的24/100，用小数表示为0.24，所以0.6×0.4=0.24。

师：能从图中看到乘积，不简单，如果让你计算0.6×0.9 ，你会吗？

生：可以假设0.6和0.9的单位为米，转化为分米进行计算，结果为54平方分米，然后换算以平方米为单位，算出0.6×0.9=0.54。

生：我是借助画图的方式，从下图中可以看出0.9×0.6占大正方形的面积的54/100，所以0.9×0.6=0.54。

师：这两题在方法上什么相同之处？

生：都是借助单位换算转化成整数乘法，算完后，再通过单位换算求出原来的结果，还可以借助画图的方法表示两个小数相乘的结果。

生：我还发现两个一位小数相乘，积就是两位小数。

师：仅仅从两个例子就得到这个结论，是否正确，还有待验证。

学生独立探索小数乘小数的计算方法，有的学生借助已有的小数加减法的计算经验进行类比推理，造成乘积中小数点的位置错误;有的学生借助生活经验，利用单位换算转化成整数乘法进行计算，然后进行单位还原求出结果;还有的学生利用小数和分数的关系，数形结合，借助直观模型形象地诠释0.6×0.4的结果。接着，教师出示0.6×0.9，学生运用刚刚学到的方法，利用转化表征或者图形表征来呈现结果。经此探究，引发了学生的直观洞察，他们进行不完全归纳推理：两个一位小数相乘，积是两位小数。因为不完全归纳推理的结论具有或然性，所以教师要引导学生对发现进行验证。

二、借助演绎推理，明确背后算理

因为不完全归纳法推导出来的结论具有或然性，可能是正确的，也可能是错误的，因而对结论的验证必须要经过演绎推理，只有通过演绎推理严格论证才能确定结论的必然性。而最新研究表明，10～11岁是儿童演绎推理认识的快速发展期，因此，作为数学教师，我们可以依据自己的教学内容，逐步渗透之，只要学生能“够得着”，我们就要开展演绎推理，让学生走出依靠直观形象和感性经验进行合情推理的框框，展开有根有据、有条有理的论证，让学生明白其中蕴含的道理，帮助学生树立理性思维。下面是王老师家房间和外面阳台的平面图。

师：你能提出什么问题？请列出算式。

生：房间的面积多少平方米？列式为3.8×3.2。

师：大家尝试一下？

生：利用单位换算把3.8米和3.2米转化为38分米和32分米，38与32积为1216，1216（平方分米）=12.16（平方米），所以3.8×3.2=12.16。

师：不借助单位换算的方法，能否说明小数乘法的计算道理？

生（皱着眉头）：从3.8变成38扩了10倍，3.2变成32也扩大10倍，积也会扩大的，那怎么办？

生（激动地说）：我明白了，3.8和3.2分别扩大10倍是38和32，积就扩大100倍，然后把38和32的积缩小100倍是12.16。（结合学生的说明完成板书如下）

生：小数乘法是转化成整数乘法计算的，然后点上小数点。

师：一道题带给大家的感悟不少，会算阳台的面积吗？

（學生独立计算后展示）

生：我是按照小数点对齐计算的，算完后把小数点拉下来积是43.7，大家同意吗？

生：我不同意，如果把两个小数都看大一点，分别是2和4，乘积才是8，这题中积比8小。

师：利用估算初步判断1.15×3.8不等于43.7，正确的该如何计算呢？

生：按照末尾对齐来计算，把1.15和3.8分别扩大100倍和10倍为115和38，乘积就扩大1000倍，115与38的积是4370，最后把积缩小1000倍为4.37。

师：算出的积符合刚才估算的结果吗？（学生赞同）这位同学不仅说出了结果，还说明了原因。它们计算时有什么相同点？

生：都是转化成整数乘法进行计算的。

生：小数乘法列竖式计算最好末尾对齐。

师：为什么小数乘法列竖式计算末尾要对齐？

生：小数乘法列竖式计算如果小数点对齐，积的小数点和乘数的小数点不一定对齐。它和小数加减法不一样，小数加减法计算时小数点对齐，结果的小数点和上面小数点也对齐。

生：小数乘法是转化成整数乘法来计算的，与小数点是否对齐没有关系。

师：这几位同学讲得很好，能从小数乘法计算本质说明末尾对齐的合理性。

计算的本质就是推理，就是寓理于算的过程，本环节学生在刚刚获得两个一位小数相乘的算法后，能够利用单位换算完成3.8×3.2的计算。但是学生对小数乘法的理解仅停留在“知其然”的表面上，没有理解藏在背后的算理。教师的适时追问“不借助单位换算转化的办法能否说明小数乘法的计算道理”“ 逼迫”学生进行了深入思考，通过箭头的指向打通了小数乘法和整数乘法之间的联系。学生有条有理地阐释了其中乘数和乘积的变化，逐步理解了小数乘法是利用积的变化规律转化成整数乘法计算，然后把积缩小相应的倍数求出原来结果的算理。转化过程的每一步都是严谨而有根据的，诠释了演绎推理的魅力，使学生明晰了背后的算理，从而“知其所以然”。教师并没有满足于学生对3.8×3.2算理的理解，而是请其独立计算1.15×3.8。学生展示各自的算法并有理有据地阐释，通过对比，学生真正明白小数乘法末尾对齐的根本所在——都是转化成整数乘法进行计算，有效消除了小数加减法给小数乘法计算带来的负迁移，使其由对小数乘法由关注外在形式走向深刻理解内在结构。

三、注重说理训练，总结计算方法

通过不完全归纳法学生发现了小数乘法计算的关键点——乘积小数的位数和两个乘数小数位数之间的关系，然后通过演绎推理证明了开始的猜想。经历两种推理，学生进一步明确了小数乘法计算算理。算理是内隐的，算法是算理的外在表达方式，于是算法的总结完善就成为计算教学的必然。

师：你能给下面各题的积点上小数点吗？

生：0.87×0.9两个乘数分别扩大100倍和10倍，转化成87×9=783，然后积再缩小1000倍，成为0.87乘0.9，结果是0.783。

师：积的小数位数是怎样确定的？

生：8.7和0.9都是一位小数，积7.83是两位小数，72.9和0.04分别是一位和两位小数，乘积2.916是三位小数。

生：我发现“积的小数位数就是两个乘数中小数位数的和”。

师：大家同意这位同学的发现吗？

生：我不同意，第三题16.5×0.6=9.9，两个乘数都是一位小数，积还是一位小数。

生：不对，积9.9是原来乘积9.90这个两位小数化简得来的。

生：最好在刚才发现加上几个字变成“积的小数位数在没有化简之前等于两个乘数中小数位数的和”。

师：加上几个字就不容易产生歧义了，为什么存在这一现象呢？