一类具有时滞的Lengel-Epstein系统的稳定性分析

贺 晔

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

在理论生物学中，一个重要的基本问题是解释生物斑图形成的原理。1952年，Turing提出将生物表面所显示的斑图是如何产生的问题用一个反映扩散模型来解释说明[1]。文献[2]在一个开放的未搅拌的胶体反应器中，首次从实验上验证了Turing的思想。Lengel和Epstein依据CIMA这个著名的化学实验提出并建立了如下的Lengel-Epstein模型[3]：

(1)

其中Ω为n维欧氏空间的有界开集并且具有光滑的边界∂Ω，Δ为Laplace算子，u(x,t)和v(x,t)分别表示激活剂和抑制剂在时间t与空间位置x下的浓度，抑制剂和激活剂的两种扩散系数之比用c>0表示，a和b表示有关供给浓度的系数，σ>1表示重新调节参数。

学者们对模型(1)做了广泛研究，并且得出很多结论。当没有空间扩散系数影响时，系统(1)变为ODE模型：

(2)

(3)

其中τ为时滞参数。Celik和Merdan通过对系统(3)正平衡点(u*,v*)局部渐近稳定性和Hopf分支的分析，得出随着时滞参数τ的增大，系统(3)正平衡点(u*,v*)的稳定性逐渐消失，并在某个临界值τ处出现Hopf分支的结论。假设只有在激活剂与抑制剂发生反应导致激活剂浓度变化时存在时间滞后的影响,那么可以得到如下模型：

(4)

1 局部ODE系统的稳定性与Hopf分支

当τ=0时，系统(4)所对应的ODE系统为

(5)

系统(4)在(u*,v*)处的线性化系统为

(6)

线性系统(6)的特征方程为

λ2+pλ+q=0。

(7)

由q>0可知:(i)若p>0，则系统(4)的正平衡点(u*,v*)是局部渐近稳定的；(ii)若p<0，则系统(4)的正平衡点(u*，v*)是不稳定的。

令

(8)

当0<α<α0时，p>0；当α>α0时，p<0。于是有如下结论：

定理1 若0<α<α0，系统(4)的正平衡点(u*,v*)是局部渐近稳定的；若α>α0，系统(4)的正平衡点(u*，v*)是不稳定的。

2 τ>0时正平衡点的稳定性和Hopf分支

系统(4)在(u*,v*)处的线性化系统为

(9)

线性系统(9)的特征方程为

λ2+pλ+q+4qe-λτ=0。

(10)

假设0<α<α0成立，设λ=±iω(ω>0)为特征方程的一对纯虚根，则

-ω2+pωi+4q(cosωτ-isinωτ)+q=0。

(11)

分离方程(11)的实部和虚部可得

(12)

由方程组(12)可得

ω4+(p2-2q)ω2-15q2=0。

(13)

令

F(z)=z2+(p2-2q)z-15q2。

(14)

则二次函数F(z)的判别式为

Δ=(p2-2q)2+60q2。

容易看出Δ>0，则方程F(z)=0有两异号实根

为了进一步讨论τ的变化对系统(4)的正平衡点(u*，v*)稳定性的影响，根据文献[5]陈述下面的结论：

引理1 假设m、n∈Ν0，Pn(λ)和Qm(λ)分别为λ的n次和m次代数多项式。对任意的ω>0，定义函数H(ω)为

H(ω)=|Pn(iω)|2-|Qm(iω)|2。

如果当τ=τ*>0时，超越方程

Pn(λ)+Qm(λ)e-λτ=0

(15)

存在一对共轭的纯虚根±iω0(ω0>0)，则当τ在τ*附近变化时，方程(10)有一对共轭的复根λ(τ)=α(τ)±iω(τ)且

(16)

证明方程(15)左右两端同时对τ求导得

由上式可得

则

带入τ=τ*、λ=iω0得，

由方程(15)可知

则

因此

(17)

由定义函数H(ω)知

从而可以得出

(18)

由式(17)和式(18)易知结论(16)是成立的，证毕。

对应于方程(14)，引理1中的H(ω)=F(ω2)，于是

H′(ω)=2ωF′(ω2)。

从而可知假设τ=τ*时，特征方程(10)有一对共轭的纯虚根±iω0(ω0>0)且λ(τ)=α(τ)±iω(τ)为方程(10)在τ=τ*附近变化时的一对共轭复根，则

其中F(z)由(14)定义。

(19)

由方程(19)得出相应于ω+的τ的值为

(20)

这表明当τ=τj(j∈Ν0)时，特征方程(10)有一对共轭的纯虚根±iω+。由方程(13)知ω+=ω0是唯一存在的且F′(ω0)>0，则由引理1可知，特征方程(10)的共轭复根的实部α(τ)满足条件

于是可得下面的结论:

(1)当0<τ<τ0时，系统(4)的正平衡点(u*,v*)是局部渐近稳定的；

(2)当τ>τ0时，系统(4)的正平衡点(u*，v*)是不稳定的；

(3)当τ=τ0时，系统(4)在正平衡点(u*，v*)处出现Hopf分支。

3 数值模拟

为验证上述结论，利用Matlab对前文的理论分析进行数值模拟：

图1 a=5、b=2、σ=1、τ=0时模拟图 图2 a=10、b=2、σ=1、τ=0时模拟图

图3 a=5、b=2、σ=1、τ=0.25时模拟图 图4 a=5、b=2、σ=1、τ=0.61时模拟图

图5 a=5、b=2、σ=1、τ=0.75时模拟图 图6 a=5、b=2、σ=1、τ=1时模拟图

4 结 语

在Lengel-Epstein模型的基础上引入时滞，考虑了化学反应中反应物自身分解所需时间对反应物浓度变化产生影响的时间滞后问题，使模型更具有实际意义，并且运用Matlab工具更直观地验证了所得结论的正确性。本文构建的模型及所得到的稳定性结论对实际化学反应中数据分析具有重大参考意义。