基于PCA的远程教育数学课堂教学质量评价模型研究——以四川电大为例

■许宇翔，谭淇婧

（四川广播电视大学教育学院,四川成都 610015）

高校中，高等类数学课程作为高校绝大多数专业的公共课，对老师而言，课时多、教学任务重以及考试及格率偏低。而在电大，由于高等远程教育的普及，学生接受高等教育以及再教育的门槛不像以前那么高。但是由于部分学生工学矛盾突出、数学基础理论知识欠缺。在课堂上，教学部门为了提高课程的教学质量，就需要客观并准确地了解高校教师的课堂教学情况。理论上，我们知道广义中的课堂教学质量评价一般分为四种评价方式：专家评价、同行评价、学生评价和自我评价，哪种方式更佳？这四种评价方式都各有利弊，现在没有给出明确定论。那么如何在数学课堂评价中将这些评价方式加权处理，是我们高校教学质量评估体系中一个值得研究的问题，也是电大在远程教育教学中所要解决的问题。

如今，学生评教作为课堂教学质量监控的一个指标，逐渐应用于电大开放教育中，也是督促老师不断改进和提高教学方法的手段。课堂教育质量评教不仅能够帮助提高高等数学类课程教学质量，而且也可以帮助我们教师了解自身在课堂教学中的不足。所以，我们需要根据数学类课程的性质和特点再加上各种学生评价打分汇总后的优缺点进行科学的加权处理，以此还原对学生评价的客观性和真实性。

学生评价又称为教学评价，是上述所说到四种课堂教育质量评价方式中采用情况最多的一种。课堂中，学生作为老师课堂教学表现最直接的“听众”，能够对教学工作做出价值判断，真实地反应教学效果。所以，学生评教体系作为学生对任课教师实施教学质量的监督，是学生评价活动中一个重要组成部分。这个标准是学生参与学校对教师教学监督的有效管理途径之一。电大的远程教育教学关系到教学工作和教学质量，同样需要学生评价。高等数学类课程要想得出客观真实的评价就需要建立非常科学合理的评价指标体系。

一、主成分分析原理

主成分分析法又称为PCA(Principal Component Analysis)，它是一种数学数据降维算法，经常应用在经济学和医学统计等领域中。简单来说，就是对一些很复杂的高维数据工作通过提取变量来分析其中主要的重要变量。

二、主成分分析实施步骤

（一）计算协方差矩阵

（二）求出Σ的特征值λi及相应的正交化单位特征向量ai

Σ的前m个较大的特征值λ1≥λ2≥…λ>m0,就是前m个主成分对应的方差，i对应的单位特征向量ai就是主成分Fi的关于原变量的系数，则原变量的第i个主成分 Fi为：Fi=ai′X

（三）选择主成分

当累积贡献率大于85%时，就认为能足够反映原来变量的信息了，对应的m就是抽取的前m个主成分。

（四）计算主成分载荷

主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互关联程度，原来变量Xj（j=1，2，…，p）在诸主成分Fi（i=1，2，…，m）上的荷载lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）：

在SPSS软件中主成分分析后的分析结果中，“成分矩阵”反映的就是主成分载荷矩阵。

（五）计算主成分得分

计算样品在m个主成分上的得分：

Fi=a1iX1+a2iX2+…+aPiXP

三、四川电大学生评价指标体系构建实例分析

文中以四川电大7位数学老师他们在2018-2019年度《几何基础》精彩课堂上教学质量为研究对象，建立基于PCA的精彩课堂的教学质量评价模型。本数据采自于四川广播电视大学校本部2018-2019参加《几何基础》课程教学的学生。对国内外高校评价指标进行收集和整理是调查的首要任务，然后依据四川电大督导教学工作水平评估指标体系，结合师生调查问卷并咨询了相关教授专家最终制定了评价指标体系。评价指标体系可以概括为四个方面：师德师风、教学内容、教学方法和教学效果（表1所示）。

为了提高数据准确性，首先我们会将学生评教指标10分或者6分的以下数据看作是倾向性主观数据。然后将剩余的各指标求平均分后就能够得出学生评教基础数据（附表1所示）。

（一）数据分析

将附表1中的13个基本指标数据输入SPSS 21.0版中，得到主成分特征值、贡献率及其累计贡献率表如附表2所示。之前我们设定主成分的提取数目为前4个主成分，设定特征值大于1才具有显著性，可以看到前4个主成分分析合计方差累计贡献率为87.103%，根据主成分选取原则，选取主成分能够保留原始信息的85%以上即可，选取前4个主成分，信息的损失率为12.837%，表明前4个主成分具有显著代表性，能够起到压缩数据量的作用。

这个结论也可以通过图1来表达。从碎石图中，我们可以很清楚地看出前四个特征值差异都很大，并且都大于1，从第五个特征值开始，初始特征值为0.864，距离第四特征值变化很小，虽然第五个特征值也趋近1，但变化量不大，变异程度也不大。所以我们可以看到，取前四个作为主成分是合理的。

表1 评教指标体系

图1 碎石图

利用计算得到的主成分荷载矩阵除以每个主成分特征根的均方根可以得到13个主成分的特征向量。前面已经告知我们将最终选取前4个主成分，所以可以得到的前4个主成分特征向量如表4所示。

表4 前四个主成分成份矩阵a

（二）数据表达

根据主成分荷载矩阵及其主成分的特征值计算每个主成分中各指标所对应的系数，得出4个主成分的表达式分别为：

y1=-0.180x1+0.691x2-0.165x3-0.269x4-0.422x5+0.873x6-0.131x7+0.474x8-0.539x9+0.702x10+0.945x11-0.543x12+0.488x13

y2=0.957x1+0.329x2-0.471x3-0.512x4-0.219x5-0.06x6+0.503x7+0.172x8-0.513x9+0.86x10-0.72x11+0.610x12-0.699x13

y3=-0.31x1-0.51x2+0.83x3+0.76x4-0.73x5-0.287x6+0.197x7+0.271x8-0.470x9+0.316x10-0.70x11+0.541x12+0.196x13

y4=-0.119x1-0.381x2-0.240x3+0.178x4+0.198x5+0.384x6+0.718x7-0.644x8-0.279x9+0.354x10-1.11x11+0.48x12+0.264x13

我们将以上4个主成分贡献率和式的结果带入

F=0.30797y1+0.23166y2+0.20422y3+0.12718y4

F=0.1444x1+0.02313x2-0.0212x3-0.0240x4-0.3220x5+0.0259x6+0.20750x7+0.1600x8-0.4172x9+0.3468x10+0.2475x11+0.0089x12+0.0628x13

综合上述结果，我们可以建立主成分综合模型来得出四川电大2018-2019《几何基础》的7位教师每一位教师的主成分以及他们的综合成分得分，在这里我们不再计算。

（三）结果分析

（1）在主成分y1中有6个较高的载荷指标分别是X2、X6、X8、X10、X11、X13，这 6 个指标分别是课前准备、内容拓展、教学语言、违纪现象、作业评阅和教学效果。这些指标分布于师德师风、教学内容、教学方法、教学效果这四个大类。通过计算y1主成分的排名情况可以得出：我们四川电大数学教师的综合教学水平。这说明授课方法新颖、灵活多变、教学内容丰富的授课老师更能适应学生的需要，能够得到学生的肯定。由于时代不同，老师们需要不断探索新的教学方法，通过结合学生的实际情况和四川电大远程教育的特点找出更能迎合四川电大学生的教学方法。但是由于y1只是其中一个主成分，没有考虑到其他几个主成分分析，所以由此得来的综合排名是有一些偏差的。（2）主成分y2、y3中也有较高的荷载指标，分别从师德师风、教学内容、教学方法、教学效果四个大的方面来评价了电大教师教学水平。不过教师分数排名仍然有差异。（3）最后我们得到的F主成分综合得分模型能够计算出四川电大7位教师综合排名，教师的综合素质随着分数的增长成正比。

我们在运用主成分分析中要注意的是：（1）当主成分中综合原指标为特征贡献率最大的一项时，可以作为电大数学课堂教学总体效果的评价指标；（2）在进行主成分分析的时候，特别注重影响作用相反的两种关系；（3）在对各项具体指标进行分析时，需要灵活运用PCA。

四、结束语

一方面，电大教师通过学生评价不仅可以直观、客观地得到评价结果，通过主成分分析的结果还可以构建师生之间的高等数学类课程教学的评价量表。教学部门希望《几何基础》等高等数学类课程教学质量能够从评价数据中得到有用的信息，因为电大学生的特殊性，这些信息能够帮助我们不断地总结高等数学类课程经验、改进高等数学类课程教学、提高高等数学类课程教学质量，保证学生能够在课堂上取得好的效果，让其顺利通过考试并毕业；另一方面，也可以反映出我们电大教师在实际教学中所出现的问题，扬长避短，不断得到提升。

附表1 学生评教基础数据表

附表2 主成分特征值、贡献率及其累计贡献率