构造直角三角形解代数最值问题

江苏省泰州中学附属初中 (225300) 刘兴龙

构造法是一种重要的数学思想方法，它可以根据问题的条件结构，构造出一个载体把所给的数学元素及其关系全面准确地载入，实现将已知问题转化的目的.此法新颖独特，对培养学生的联想、迁移、转化等思维有着十分重要的作用.本文主要介绍如何构造直角三角形解代数最值问题，供师生教学参考.

图1

评注:本题难度较大，用一般方法不易求解，且过程十分繁琐.于是考虑构造直角三角形将数转化为形，其构思精巧，令人耳目一新.

图2

评注：本题是一道数形结合的综合题，解题关键是应用勾股定理，相似三角形及不等知识，通过构造直角三角形，使代数问题得以转化，从而化复杂为简单，化抽象为直观.

图3

评注：有些代数题，用代数方法很难解决，但如果抓住“数”与“形”之间的内在联系，就可赋“数”以“形”意，把抽象的数学关系转化为构造直角三角形.用几何图形的直观性，可使已知和结论间的关系变得更明确、更形象，从而使问题变得简单明了.

解：构造直角三角形ΔABP和ΔDCP，使CP+BP=12,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=2,CD=3.并设

图4

综上所述，构造直角三角形求代数式的最大值和最小值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形求解，有助于培养逻辑推理和直观想象能力.并且这种数形结合的方法，充分体现了数学的和谐美，实现了抽象思维与形象思维之间的转换，符合新课程改革的理念要求，对于启迪学生思维，开拓学生视野，提高综合解题水平大有益处.运用数形结合思想，不仅能直观发现解题捷径，而且能避免大量的计算和复杂的推理，大大简化解题过程，因此，在平常解题过程中，要多给学生渗透这种思想方法，多加强这方面的训练，以提高解题能力和速度，从而开拓学生的思维和视野.