在“浅显”中求“深刻”

姜华

摘要：估算是小学阶段数学学习的重要组成部分。而估算难教、难学是不争的事实：估算任务的主观性、估算方法与结果的开放性、思维过程的复杂性等，常常导致教师与学生熟悉的思维方式呈现对立状态。在理解估算内涵的基础上，厘清苏教版小学数学第一学段估算内容的编排脉络，透析估算教学的现状：看词辨估，以假估代真估，取精算舍估算。进而寻求将估算内容与教学融入数学课程与教学的实施策略——择需而估：凸显估算意义;比优巧估：优化估算方法;以用促估：培养估算意识。

关键词：估算估算教学估算方法估算意识

估算是小学阶段数学学习的重要组成部分。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）更是将估算作为培养学生数感、应用意识、运算能力、推理能力的重要方法和手段。但是估算难教、难学是不争的事实：估算任务的主观性、估算方法与结果的开放性、思维过程的复杂性等，常常导致教师与学生熟悉的思维方式呈现对立状态。很多一线教师有着这样的困惑：估算教学并未真正地融入小学数学课程。因此需要理解估算的内涵，厘清教材中估算内容的编排脉络，透析估算教学的现状，进而寻求将估算内容与教学融入数学课程与教学的实施策略，实现估算教学的课程目标。下面，笔者以苏教版小学数学第一学段的部分估算内容为例，尝试对以上问题进行解读和分析。

一、估算的内涵及教材编排特点

估算主要指在计算或测量中，无法或无须精确计算或测量时所采用的一种数学方法。广义的估算包括对数量的估计、度量的估计、计算的估计，分别简称为估数、估测、估算（狭义）。估数、估测、估算（狭义）三者并不是孤立的，而是相互补充、互相促进的。

《课程标准》对第一学段估算教学的目标要求有：在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计;能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用;能估测一些物体的长度，并进行测量;会估计给定简单图形的面积。针对上述目标，教材编排了如表1所示的估算内容。

可以看到，估数和估算（狭义）主要出现在“数与代数”领域，而估测主要出现在“图形与几何”领域。估算教学的起点是对数量的估计，以估数为基础，逐步过渡到估测和估算（狭义）。估数，从数的概念的角度来划分主要有整数和分数两类，从数的范围的扩展可划分为四个阶段——20以内、100以内、万以内、分数。估测内容的编排穿插于“计量单位”的教学中，主要涉及时间、长度、质量、面积单位等，其中有关长度和质量的估计也是分多步进行的。估算（狭义）分为四类，分别是对加、减、乘、除运算结果的估计。教材在呈现数的认识、数的运算、常见的量和测量等教学内容时，有意识地利用数量的估计、度量的估测进行估算的渗透，为估算教学做知识铺垫和思想准备。

这样的编排，充分尊重了儿童的认知发展规律。以“长度估测”为例，二年级学生身边许多物体的长度是用厘米或米计量的，他们暂时还没有能力以千米为单位计量较长的长度。因此五个常用的长度单位中，厘米和米适合低年级学生学习。教材遵循学生的发展规律和学习经验先后安排了“米和厘米”“分米和毫米”“千米”的度量估测。

但是，对比苏教版小学数学教材的相关教学内容，我们会发现，在“精算”与“估算”的配比上，“精算”所占的比例更大，“估算”似乎只是一种点缀。而且，教材中估算内容的编排是间隔的，学生虽然在某一阶段掌握了一定的估算方法，但自主运用的意识可能会随着时间的推移而逐渐淡化。

厘清教材编排体系，辩证地看待教材对估算内容的安排，也就不难理解估算教学的现状了。

二、估算教学的现状

（一） 看词辨估

教材在编排估算教学内容时，通常会出现“估一估”“大约”等明确的指令化要求，相关指示估算的词伴随着估算进入了教材。因此就出现了两种现象。一是学生只有在明确看到“估计”“大约”等指示词时，才会主动采用估算的策略去解決问题。而类似于图1所示的实际问题是没有“大约”的估算。因为题中没有出现“大约”一词，学生的第一反应几乎都是精算，很少会想到估算。二是学生一看到“大约”，就采用估算。如下页图2所示问题中的“大约”其实是无法准确但比较接近的意思，实际上是统计中“平均”的意思，因此可以说“每平方米阔叶林每月平均能放出2千克氧气”。

此类问题的叙述中有“大约”，但是不应该估算。学生在解答此题时常常会陷入“大约”的误区，将18取近似数20来估算。

看到“大约”才估算，看到“大约”就估算，用“大约”等指示词作为是否需要估算的判断标准，可以反映出学生窄化了对估算的理解。在估算学习的初级阶段，“估一估”“大约”等明确的指示词是必要的。但是在学习过程中，“被指令”太多，学生会失去主动估算、自觉估算的意识;估算就成了明确指令下的一种条件反射，被异化为一种被动要求。

（二） 以假估代真估

在教材或教辅中经常会出现类似图3的练习，要求“先估计，再测量”，旨在发展学生的空间观念，培养其数感和量感，提升其思维的敏捷性和灵活性。但是从实际教与学的情况来看，教师和学生往往都会将此类练习中的估测部分一带而过。笔者曾针对此现象对一线教师做过访谈：部分教师因为追求课堂教学的速度或者降低作业批改的复杂度，就直接“跳”过估算这一环节;部分教师仅仅是让学生随意地估测一下，不会引导学生对估算结果进行分析和评价。教师的忽略和随意必然导致学生的应付了之：学生会觉得估测是多此一举，反正还是要测量出精确值的。因此有些“精明”的学生，常常是“先测量，再估算”，他们会在实际的测量结果附近任意找一个数填一填，有的还故意将差距拉大，来表明“我真的估计了”。

教材预设的估测活动被虚假估算所代替，估算过程形式化——这归根结底是教师对估算教学的价值认识不到位。

（三） 取精算舍估算

笔者曾用问题“小红家到学校有500米的路程，小红早上上学，每分钟走72米，8分钟能走到学校吗”，分两个阶段在四个班级进行对比实验，分析学生的解题策略。实验的两个时间段分别安排在学生学习了“两位数乘一位数的估算”和“两位数乘一位数的笔算”之后，四个班级分别是A班（32人）、B班（33人）、C班（31人）、D班（31人）。

第一阶段的实验选择了A班和B班，共65人参与。实验数据见表2。

43.1%的学生选择了精算的策略，正确率达到85.7%;56.9%的学生选择了估算的策略，正确率为37.8%。为什么采用估算策略的人数高于精算？一是，实验时间选在了学生刚学完“两位数乘一位数的估算”之后，知识“热度”还比较高，“印象度”还比较深刻。根据小学生的认知特点，他们在此时会采用“老师教什么就用什么”的解题方式。二是，部分学生还不会两位数乘一位数的笔算，所以只能选择估算。此题估算的知识背景是整十数乘一位数，计算难度低。

第二阶段的实验选择了C班和D班，共62人参与。实验数据见下页表3。

80.6%的学生选择了精算的策略，正确率达到94.0%;19.4%的学生选择了估算的策略，正确率为58.3%。在学习了“两位数乘一位数的笔算”之后，绝大部分学生自然地选择了精算，正确率也比较高;对比之下，只有少部分学生采用了估算的解题方法，正确率偏低。分析采用估算策略的学生的思路，发现多人出现了估算步骤完整，但结论发生错误的现象。

从对学生的访谈中，笔者发现：学生普遍觉得估算有风险，采用需谨慎。估算只是对结果所在区域范围的描述，没有精算出的定值准确，因此在运用估算解决实际问题的过程中，会产生拿不准的感觉。这种“拿不准”的感觉有时会影响判断，因此更愿意选择精算。

三、深耕教材，让估算教学由“浅显”走向“深刻”

（一）择需而估：凸显估算意义

估算教学，必定涉及估算方法的教学，简而言之就是“怎么估”。很多教师对此会有细化的要求及格式指导。学生在练习时往往会成为“数学的搬运工”，只会套用规定的方法、格式，而无法理解为什么这么估，不能了解估算的意义和价值。

例如，一年级下册第三单元中的一道数星星的题目（见图4），要求学生“边数边估”。这是“大约”一词在教材中首次正式出现。在这个单元，学生要认识21—100的整数。而在本课之前的教材中出现过类似的题目（见图5），其要求还是“数”。“每数10颗圈一圈，边数边估”，其实是对估算方法的指导。但是为什么这样估，学生不明其因。

若将题目改为“估一估，大约有几十颗”，学生就会感到特别为难。心理学研究表明，人本能感知到的而不用一个个数出来的物体的数量最多是5个。面对这么多毫无排列规律的图案，学生很难估计，因此他们第一反应报出来的答案，不仅众说纷纭，而且十之八九是“猜的”，与准确值的差距也较大。这种情况下，让学生先“数出10颗圈一圈”，然后估一估，学生就会发现，估计的数值范围小了一些，但离准确值还有差距;再圈出10颗，有了两个10颗作为参照物，估出的数值范围就更小了，与准确值就更接近了……这样的教学过程就很好地诠释了“边数边估”的内涵，也让学生懂得了为什么要“每数10颗圈一圈”，明白了估计物体的数量并不是毫无根据地猜测。

（二）比优巧估：优化估算方法

估算在数学课程中呈现出的基本矛盾之一就是，估算方法的灵活性不同于通常标准算法结果的确定性。开放的估算方法，自然会带来多样的估算结果。面对众多估算结果，是一带而过还是进一步优化处理，是值得深思的问题。

例如，上文图3的练习，将估计值与实际值放在同一表格中呈现，旨在进一步将两列数据进行对比，感受相差值，从而进行估测方法的优化。

再如，二年级上册中的一道测量手掌宽和一拃长的题目（见下页图6），就为估测的优化埋下了伏笔。手掌的宽度、一拃的长度……这些“身体尺”学生很感兴趣，就容易记住相应的长度数据，因此，在估测橡皮、粉笔、数学书的长度时，就可以借用“身体尺”辅助。这样“以物估物”，其实就是基于需要灵活选择估测的单位。在这样的估测和实测的对比下，学生体会到：“身体尺”也能帮助估测长度，但是要得到准确的結果，还是要用尺量。

（三）以用促估：培养估算意识

三年级上册第一单元中，所有“整十数乘一位数的估算”的内容全部安排了问题情境。这说明教材十分注重以实际问题为载体，以儿童的生活现实、数学现实为生长点，精心选择问题情境编排估算内容的教学，重视在问题解决中增强学生的估算意识。但是当面对如图7所示的一组练习时，一些学生又陷入了精算的“坑”。学生被情境所困，剥离情境后，主动自觉估算的意识就比较淡薄了。用估算的方法解决这些问题，从算式的计算程序来看，其强度和难度都有所下降，而从整体思维的角度来看，会涉及分析、判断、合情推理等，其思维含量又远远高于精确计算的程序性思维。

意识难教，但是可以耐心地培养。教材只是提供了最基本的教学内容，只是教学的“中介材料”，并不是教学的全部。我们应活用教材，改编估算素材，不断地提供机会，让学生在精算与估算的互动中碰撞，在碰撞中对比，实现优化顿悟，提升学生自觉估算的意识。

估算方法的教学很重要，而估算意识的培养更为重要。笔者主张，意识先行、方法相伴。技能技巧是可以通过学习、训练获得并强化的，而在什么情境下选择估算策略，这样的意识是比较难以习得的，却是学生学习能力的真正体现。深耕教材，改编教材，努力挖掘教材中隐含的估算素材，为学生搭建估算的平台，才能促使学生真正把估算内化为一种自觉行为。

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