基于补缺 瞻前望远

【摘 要】基于补缺的意识，研究者通过回顾已研究的直角三角形的性质，发现存在边与角的关系研究不足，由此引发进一步的研究。文章借助三角形的相似性，构建直角三角形任意两边的比值，发现这些比值和其中的锐角形成了一种函数关系，在六个函数的对比中发现只需要学习正弦、余弦、正切三个函数即可;然后以小练习内化这些函数概念，发现同角三角函数之间及互余两角三角函数之间的关系，在问题解决遇到阻碍时，对下节课的教学进行展望，并在师生互动中构建直角三角形的性质结构图;最后从“立足完善，自然生长”“完整函数，整体构想”两个视角对教学设计做出反思。

【关键词】锐角三角函数;章起始课;整体构想

一、教学分析

人教版数学九年级下册第二十八章第一节“锐角三角函数”，是在学生学习了一次函数、反比例函数和二次函数的基础上进行的。锐角三角函数反映的不是数值与数值之间的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，这种突破常规的对应关系，给学生的学习带来了挑战。锐角三角函数可以看作是函数“变量说”向“对应说”的过渡，是一架引桥，其重要性很明显;另外，通过本章的学习，学生才会对直角三角形的概念有较全面、完整的认识与理解。因此，本章的学习有完善直角三角形学习的目的，是一节系统终端起始课[1]。

这部分内容的教学一般安排六个课时，第一课时学习正弦概念，第二课时学习余弦、正切的概念，然后依次进行细碎安排，教学进展一般会比较顺利，但容易出现“见木不见林”的问题，导致学生对锐角三角函数的认识不全面。基于此，笔者对教材做了统合，依据知识的内在关联，将锐角的正弦、余弦、正切概念同时给出，使学生整体认识，而不是零敲碎打，逐一呈现，这种全局意识易于凸显概念的本质，便于学生掌握。在教学中，教师引导学生明确在一个锐角大小确定的前提下，研究直角三角形任何两边的长度之比，整体感知各种情况。

悉数登场，再通过对比发现两两成倒数关系，由此引出研究“正弦、余弦、正切”的必要性。虽然一节课的内容很多，但由于洞察了它们的本质及逻辑关系，知识的内在生长顺理成章， 降低了外部认知负荷，构建起了知识体系，学生学习起来并不费力。恰如章建跃博士所说，这样处理知识能使学生在整体认知的基础上进行主动地和有意义地进入学习过程。

二、章起始课规划

（一）教学目标

1.整体认识直角三角形三边构成的六个锐角三角函数，理解锐角三角函数的意义，并掌握其直接运用的方法;

2.经历从直角三角形角角关系、边边关系到边角关系的探究，体验探究正弦、余弦和正切概念的必要性，理解知识内在结构的发展和函数概念的本质;

3.经历从特殊到一般、从猜想到论证探究直角三角形边角关系的过程，积累数学概念学习活动的基本经验，领悟数学思想的应用价值。

（二）教学重难点

教学重点是锐角三角函数概念形成的本质探究、整体认知和整体构建。

教学难点是对锐角三角函数概念本质属性的理解。

（三）教学过程设计

1.温故引新

通过对三角形构成元素关系的分类，学生自然发现元素间的空缺，打通三角形各元素之间的关系，以填补空缺，使新知成为旧知的自然延伸和完善，在温故中获得新生，在完善中凝成整体。

师：三角形是最基本、最重要的封闭图形，请同学们回顾一下，三角形一般研究什么？

生：研究三角形边、角、重要线段等元素。

师：是的。那三角形各式各样，你认为哪种三角形是最基本的？为什么？

生：直角三角形。因为所有三角形都有高，也就是都能化成直角三角形。

师：这位同学的认识很到位。对于直角三角形，我们已经研究过它的哪些性质？

生：边与边的关系、角与角的关系。

师：很棒。除了这两类关系，我们还知道直角三角形的什么结论？

生：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

师：很好，这样认识直角三角形就相对全面了，这个结论体现了谁与谁的关系？

生：角和边之间的特殊关系。

师：非常好。但若从完善的角度思考，哪类关系的研究仍不足？说说你的理由。

生：边与角之间的关系。因为边与边的关系（两边之和大于第三边等）已经研究了，角与角的关系也研究了内角、定理及两锐角互余等，而边与角的关系只研究了一个关于30°角的特殊关系，所以研究不足。

…….

【设计意图】通过温习旧知，循循诱导，教师从特殊到一般引出课题：对一般的锐角而言，边与角之间到底有怎样的特定关系？当角变化时，又会带来怎样的变化？

2.概念形成

问题：在Rt△ABC中（如图1），∠C=90°，∠A的对边长为a，邻边长为b，斜边长为c。结合前面的交流，遵循前面的思路思考，可以提出什么问题？

预设学生提出的问题：

（1）∠A（或∠B）所在的直角三角形的三条边可以构成几组不同的两线段之比？这些比是什么？

（2）当∠A不变，直角三角形大小改变时，这些比值变化吗？

（3）当∠A变化时，这些比值变化吗？

【设计意图】教师通过三个问题引导学生用概念解决问题。问题1既从水平认知层面落实概念，又为下一环节铺垫。问题2通过判断对错加深学生对概念的理解，显化角度与比值的对应关系，进一步渗透函数思想。其中，（1）凸显cosA不是“cos”与“A”的乘积，而是一个整体;（2）sin[WBX]A[WBZ]是线段之间的比值，无单位;（3）一个锐角的正弦值与边的大小无关，只与锐角的大小有关，角度一旦确定，正弦值随之确定;（4）通过反例让学生明确，欲求锐角三角函数值需要将锐角置于直角三角形中，即公式的对边指锐角所在直角三角形所对的直角边。问题3是（4）的延伸，把任意一个锐角置于网格，而不在直角三角形中，以此說明锐角三角函数值与这个锐角是否在直角三角形中无关，只与锐角的大小有关，但求解需要构造出直角三角形，进一步凸显用定义求锐角三角函数值的条件。

4.拓展提高

【设计意图】培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力，引导学生用多种数学语言（文字、符号、图形）表达世界，提高学生的数学建模能力，彰显锐角三角函数学习的必要性和价值性。另外，用非特殊角引起认知冲突，为学习下节课做铺垫，至此，一章的整体概貌就有了。

6.瞻前望远

通过师生互动，学生立足知识框图的生长，形成结构图（如图12）。

【设计意图】对照已学课程，对直角三角形已有性质进行总结，并不断完善，借助知识框图清晰脉络，梳理直角三角形的性质，并突出重点——锐角三角函数（边角关系）。这样，关于直角三角形性质的整体结构图自然而然地展现出来，有点睛之笔的效果。

三、反思与评价.

（一）立足完善，自然生长.

对于逻辑关联性强的数学教学来说，一定意义上皆基于旧知识的再探索、再研究，是一个旧知向新知的过渡过程，是一个利用旧知探寻新知的过程，是一个不断完善和扩充学生原有认知结构的过程。其中迁移规律发挥着重要作用，我们知道新知与旧知之间存在着一定距离，这段距离即认知发展区，因此，教学实际上就是消除旧的认知发展区，实现新旧知识的无缝对接，然后出现新的认知发展区的动态过程。根据认知发展区的特点，选择合适的先行组织者至关重要。若从新旧知识的关联来看，无非有三类，即并列型、递进型、相交型，如有理数与无理数、整式与分式等均为并列型，它们的并行不断完善着知识体系。若抓住这些特点组织教学，能帮助学生构建知识的大厦，是一种优化补阙的美学意识。本节课的引入，是将“直角三角形的已学性质”作为先行组织者，是基于对其边边关系、角角关系以及边与特殊角关系的梳理，在这些边与角的关系中只是认识了边与特殊角的关系，这样就留下一个缺口：边与任意角（一般角）有没有确定的关系？如此并列式、完善性的思考就是顺乎其然的自然生长。正如李祎教授所说，学习者学习新知识的过程，就是从已有认知结构中提取与新知识有联系的旧知识，对新知识加以“固定”或“归属”的动态过程。教师在设计新知的导入时，可以依照教材本身内在的逻辑关系，设计出既能联系旧知又能提示新知的导语，从而使新旧知识通过有机联系和相互作用，最终形成一个相互关联的有序整体[2]。

（二）完整函数，整体构想.

章建跃博士指出，要想改进我们的教学，就必须加深教学内容的理解。因此，笔者对每一节课的教学内容都进行深度探究，并把教学内容置于整个知识系统内、整个课程长轴上，以保障教学内容的整体性、有效性。初中阶段研究了正弦、余弦和正切的概念，但这只是锐角三角函数的一部分，课堂上学生自然会产生是否还有其他比值（如邻边比对边、斜边比对边、斜边比邻边）的疑惑。缘于此，本教学设计没有回避这个问题，而是把六种关系呈现出来。通过比较，学生会发现它们呈三类特定的倒数关系，由此只研究三类体现了数学趋简的本色。作为章起始课，把三个锐角三角函数概念作为一个整体进行教学，突出整体性、系统性，有益于学生完整认识锐角三角函数，形成和建立完整的知识结构。这样可以让学生清晰地认识到三个概念的相同点和个体差异，从而更好地掌握。这种集成型的教学方法，规避了教材的零敲碎打，有益于获取知识的结构化，达到学生全面认识锐角三角函数概念的目的。

参考文献：

[1]邢成云整体化教学：课堂直指学生思维发展[N]中国教育报，2019-12-11（10）.

[2]李祎另眼看导入[J]数学通报，2018（8）：13-16

（责任编辑：罗小荧）

【作者简介】邢成云，正高级教师，全国“万人计划”教学名师，全国“双名工程”领航人选，主要研究方向是数学课堂教学。

【基金项目】山东省滨州市名师工作室专项课题“全息教学论下初中数学章起始课的教学研究”（BZMZZX18-31）;山东省社科联人文社會科学课题（基础教育专项）“‘快慢相宜的整体化教学模式之延伸研究”（16-ZX-JC-37）