浅谈初中数学分类讨论思想

黄国云

摘要：分类讨论思想实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在数学解题中的体现。是一种弱化问题，强化条件，以退为进的策略，简化了原问题的难度。

关键词：分类讨论思想;整合突破

在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的;有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究;还有些问题的已知量是含参形式给出的，因为参数的取值不同必然会影响问题的结论。我们将问题分解成几个相互独立的子问题来处理，最后综合这些子问题的解答，得到对整个原问题的解答。这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想称之为分类讨论思想。分类讨论思想是数学解题中的一种重要的解题方法，对培养学生的思维能力的综合性、探索性、条理性具有重要的作用。

在教学过程中，教师可以根据中学生逻辑思维的特征，有意识的对需要用分类讨论思想解决的数学问题进行适当的归类，对各类型分类问题进行探究，归纳。则有可能突破分类讨论这一教学重难点。笔者在本文中归纳说明几种常见的分类讨论的热点类型，以供参考。

1 含参变量根据数学定义而进行的分类讨论

例：若关于x的方程mx2m-1+（m-1）x-2=0是一元一次方程，则m为 。

分析：根据一元一次方程的定义，含一个未知数，未知数的次数是1次的整式方程是一元一次方程。因含参变量m的取值会导致不同的结果的产生，因此所求解的问题分三种情况讨论：①x的指数2m-1=1，解得m=1;②x的指数2m-1=0，解得m=0.5;③未知数x的系数m=0。

2 在实数的计算中的分类讨论

例：若x2=4则x= ;若| x |=4，则x= 。

在实数计算中，绝对值，平方根等问题，经常要分类讨论。

3 因动点位置不确定而产生的分类讨论

例：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm ，AC=20cm，点P从顶点A沿AB以3cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C沿CA以5cm/s的速度向点A运动，当△APQ是等腰三角形时，求运动时间t的值。

分析：因双动点P、Q位置不确定产生等腰的三种情况：

①AP=AQ;②当QP=QA;③AP=PQ。还可以把原题进行如下变式：

变式1：当△APQ直角三角形，求运动时间t的值。

变式2：当△APQ与△ABC相似时，求运动时间t的值。

4 与等腰三角形有关的分类讨论

4.1 与角有关的分类讨论

例：已知等腰三角形中一个角的度数为40°，则底角的度数为 。

分析：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况

求解：①当顶角为40°时，底角的度数是70°;②当底角为40°时，顶角的度数是100°。

4.2 与边有关的分类讨论

例：等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是多少？

分析：这里的“一边”可以是等腰三角形的腰，也可以是底。分两类情况讨论：①当底为9时，三边长为4，4，9，∵4+4<9，∴不能构成三角形;②当腰长为9时，三边长为9，9，4，满足三角形三边关系，第三边长为9。

通過这个问题，进一步说明对分类讨论的结果要根据相关的定理，进行正确取舍，整合出原问题的答案。

5 与直角三角形有关的分类讨论

例：在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC= 。

分析：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论;当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解.本题中，较长边AC可以是直角边，也可以是斜边，所以分两类情况讨论。

①当AC是直角边时，cosC=AC∶BC=2∶

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;②当AC是斜边时，cosC=BC：AC= 2：

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6 点与圆的位置关系不确定的分类讨论

例：平面上，有一个点到与已知圆各点所连的所有线段中，最短为6cm，最长为9cm，则该圆的半径为 。

分析：点在圆内，还是点在圆外不明确，所以需要分类讨论：①当这个点在圆外时，该圆的半径为（9-6）÷2=1.5cm;②当这个点在圆内时，该圆的半径为（9+6） ÷2=7.5cm.故答案为：1.5厘米或7.5厘米.

分类讨论是一种数学思想，更是一种逻辑思维习惯，属于综合性比较强的问题，难度比较大。想突破分类讨论问题难点，需要我们在教学过程中需要不断渗透分类讨论的思想，循序渐进地通过解决一些典型的常见的分类问题中，给学生足够思考的空间，抓住图形的特征及图形的变换，体会分类的原因，明确分类的标准，感悟分类基本原则----不重复，不遗漏。培养正确的分类技巧，并会对结果进行合理整合，逐步引导，不断归纳，才能提高学生的数学思维能力，提升学生的数学素养。

参考文献：

[1] 操斌.循序渐进整合突破[J].中学数学教学参考（下旬），2019（07）.

[2] 殷曼曼.厘清分类，正确讨论[J].中学数学教学参考（下旬），2019.

[3] 陈长明.平面几何分类讨论问题探源[J].中学数学教学参考（下旬），2019（09）.

（作者单位：福建省罗源第三中学）