祖暅原理专题复习

陈玉坤 王志和

祖暅原理不但能说明两个几何体的体积相等，而且已经体现出“微积分”思想，即先将几何体“微分（切）”，然后再“积分（整体算）”，可见我们祖先的高明之处，在一千多年前就有微积分的雏形，可谓是中华文化浓墨重彩的一笔，本文提供丰富的关于祖暅原理题目，便于在教学中使用。

例11我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异，”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线y=x2.直线l为曲线C在点（1.1）处的切线，如图18所示，阴影部分是曲线c、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T，给出以下四个几何体：

图①是底面直徑和高均为1的圆锥：

图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体：

图③是底面边长和高均为1的正四棱锥：

图④是将上底面直径为2.下底面直径为1.高为1的圆台挖掉一个底面直径为2.高为1的倒置圆锥得到的几何体。

根据祖暅原理，以上四个几何体中与旋转体的体积相等的是（）。

A，① B，② c，③ D，④

练习题：

1.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理，利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图27.用一个与该几何体的下底面平行相距为h（O

2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个设计几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，设A、B为两个等高的几何体，p：A、B的体积不相等，g：A、B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是g的（ ）。

A，充分不必要条件

B，必要不充分条件

C，充要条件

D，既不充分也不必要条件

3.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面问的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，已知，两个平行平面问有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为a），四棱锥的底面是有一个角为60°的菱形（边长为b），圆锥的体积为y，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（ ）。

4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（ ）。

作者简介陈玉坤（1985），男，上海人，中学一级教师，上海师范大学附属第四中学数学组组长，研究方向是数学教育与数学文化。

王志和，上海市特级教师，奉贤区卓越教师工作室数学室主持人。