几何概型教学中的数学核心素养问题

白帆

[摘要]新的一轮教学改革拉开了帷幕，高中阶段的培养目标是进一步提升学生综合素质，着力发展核心素养，使学生具有理想信念和社会责任感，具有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发展能力与沟通合作能力。将这一目标落在实处，需要从每一节课入手，从每一个知识点入手。文章分析了几何概型一节中所蕴含的数学核心素养，采用问卷调查的方法对高三学生学习几何概型的情况进行分析，并以此节内容分析学生数学核心素养发展情况。

[关键词]几何概型;数学核心素养;问题

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）12-0042-02

几何概型的教学重点为：“体会随机模拟中的统计思想，用样本估计总体”，因此在教学中设计随机模拟试验，对其进行统計分析必然会涉及数据处理能力的培养。教学难点为：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题。

一、几何概型教学过程中包含的核心素养

1.使用随机模拟试验用频率估计概率，过程中需要计算机辅助产生随机数，对大量数据的处理需要使用公式进行分析。比如在3米的绳子上取点的问题，得到随机数后计算该点到绳子左右端点的距离，在计算机上如何操作？得到两段绳子的长度后，如何使用计算机统计两段绳子长度都大于1的情况？这都是培养学生数据分析能力的好机会。

2.将在绳子上取点的问题从具体的实例中抽象出来，变成了在数轴取点的问题，将数轴上的每一个点与随机模拟试验可能出现的每一个结果一一对应起来，形成试验所有可能结果构成的几何图形，理解几何概型的公式需要完成为什么可以使用几何度量的比值去表示概率值这一问题。学生在这个过程中直观想象能力得到了培养，数学抽象能力得到了提高。

3.几何概型公式中涉及长度、面积、体积的问题，实际问题中还有角度等其他情况，选择哪种几何图形的度量需要逻辑推理能力，比如在直角三角形内做射线和斜边交于一点，与在直角三角形斜边上取一点，两个问题为什么会得到不一样的答案，一方面源于随机试验的过程在进行什么操作，另一方面源于对等可能性的理解——做射线与斜边的交点在中间部分比较密集。

4.使用几何概型公式判断试验发生的结果所对应的区域困难时需要引入线性规划来解决，其中涉及数学建模能力，同一问题，设计不同的随机试验，只要都是满足等可能性且无限这两个要求，就可以通过不同的途径得到相同的答案。在数学试验课中，无论是解决估算圆周率还是估算大夫山的面积，都是学生尝试完整解决实际问题的机会，也是培养数学建模素养的机会。

5.数学运算过程由于其特点分布在解决问题的很多环节，在几何概型中，使用公式计算面积、体积等都涉及一些比较巧妙的做法，如通过相似求面积，通过积分求面积等。

6.概率几何概型知识本身概率思想蕴含的科学价值、应用价值和人文价值，都对学生的人生观、价值观等有重要的影响作用，如小概率事件是否发生，概率为零的事件是否发生，频率是否可以当作概率等问题，对其深入讨论可以帮助学生形成正确的概率观念和培养坚持不懈的精神。

二、用习题问卷调查（见文后附录）对几何概型问题中反映的学生核心素养问题进行分析

（一）知识理解上仍然存在错误

与古典概型混淆、测度选择错误的问题仍然存在，第5题中有15名学生使用古典概型来解答，但是当和他们谈论为什么选择古典概型时，大部分学生的回答是没看清题目要求x∈R。就几何概型知识点来说，与古典概型的区别和测度的选择的确重要，但是仅仅强调这两方面有区别，从概念上区分或者通过例题演示，效果并不是很理想，学生仍然容易出错。

（二）直观想象能力有待提升

（五）数学运算能力急需加强

以第7题为例，这是一个很实际的问题，计算安全距离。需要根据题中“到各边距离不低于1个单位”这句话建立出两个相似三角形的模型，此题有26名学生正确画出了图形，但仅有7人计算正确，其他学生已经正确画出了图形，也标明了事件发生所占的区域，但是却没有找到求解相似三角形面积的方法。教师通过这次调查发现，每一个题目都有学生因为计算出错，数学运算能力的培养贯穿着整个数学教学与学习过程，教师在本次调查中发现粗心大意是学生在学习中的坏朋友。如有的学生将第5题集合的范围从符号语言[1，10]转化到图形语言时在数轴上标注成[0，10]，这反映的不仅仅是学生运算能力不足的问题，更是数学核心素养不高的综合表现。

数学核心素养分成六个要素，但是这六个要素并不是孤立的，某一节课也不能仅仅以培养某一方面的素养为目的。从几何概型的内容可以看出，这个知识点反映学生各个方面素养存在的问题，因此教师在备课和上课过程中都必须有意识地去思考这样可以对学生的核心素养有什么作用，不能仅仅学习知识和学会解题方法。

7.在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小蚂蚁从AABC的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与△ABC各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在△ABC内任意行动时安全的概率是__。

8.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数;最后再根据统计数m来估计π的值，假如统计结果是m=56，那么可以估计π的值为__。（用分数表示）