数形结合方法在高中数学教学中的应用

李晓灵

摘要：数形结合主要就是将数学知识与几何关系相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。将数形结合应用于高中数学的具体教学中，不仅能使抽象的将数学问题更加直观、形象的呈现，而且还能使高中生解决数学问题的思路得到有效开阔，从而使学生解题的准确性与解题效率得到有效提高。本文主要对数形结合的应用准则进行分析，并提出数形结合在高中数学实际教学中的应用策略，从而使高中数学的教学质量得到有效提高。

关键词：高中数学;数形结合;教学;应用

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）06-083-2

随着新课改的进一步发展，高中数学的教学方法也实现了相应的优化，数形结合的教学理念逐渐在高中教学领域中得到广泛应用。高中数学实际教学中，通过数与形的结合，进行形的高效推理，通常能够使复杂的解题方式变得更加简单，并通过对数的高效运算，使抽象化的数学问题实现具体化。同时，数形结合运用于数学教学中，通常对数学教师具备的专业水平也有着较高的要求，这不仅要求数学教师在数形结合的应用中充分尊重数学的简单性与实际性原则，而且还能使教师的教学方式备受学生喜欢，从而使数学教学质量得到有效提高。

一、数形结合应用的基本准则

数形结合的应用基本准则具体包括：（1）等价性原则。数形结合的过程中，“数”表示的代数性质和“形”表示的几何性质之间的转换必须是等价的，也就是在对相关数学问题进行解决的时候，学生不仅需依据题意绘制出对应的示意图，而且在绘图的时候，还需要绘制出基本特征以及标注相应的关键点，如果绘制的图较为粗糙或不准确，就会对数学问题的解决产生影响，并产生解题失误或理解失误的现象。（2）简洁性原则。通过数形结合的方式进行构图，需在保证正确的基础上，尽可能促使图形的简洁，对几何图像具备的优势进行充分发挥，并在代数的具体计算过程中，尽可能避免出现繁杂的计算，以此使解题的难度得到有效降低，并使繁、难的题目变得更加简、易。如果在绘制图形的时候没有注意到该准则，不仅会影响到图形优越性的发挥，而且还会导致计算量的增加，同时，如果在进行代数计算的时候盲目计算，也会导致计算难度的增加，因此，在绘制图形的时候需注重图形的简洁性。（3）双向性原则。数形结合的应用，不仅需要对几何图形实施分析，而且还需要对相关数据实施研究，也就是通过代数抽象和几何直观相结合的方式进行探索，并通过二者之间的相互作用对数据或图形进行修正，并通过图形具备的直观性对抽象数据进行分析，通过数据的精确性对图形的误差进行分析，通过对二者之间的优势充分发挥，使数形结合的优越性得到充分体现。

二、数形结合方法在高中数学教学中的应用

1.在函数问题中的应用

函数作为高中教材当中较为重要的部分，其属于高中数学各个知识点实现有效连接的主链，该章节运用数形结合通常表现在两方面：（1）函数的性质，如函数具备的奇偶性、单调性，以及函数的最值，数学教材中都对这些性质给出了符号化概念，这些性质的研究与探讨也都通过函数图像具备的直观性，把代数解析式转变成直角坐标系当中的函数图像，并通过几何图像对抽象的函数概念进行体会，从而使高中学生实现更好的理解与学习。（2）函数与方程体现的方法为一元二次方程和其相对应的二次函数的图像两者的关系，其内容主要是将函数图像与方程的解与X轴的交点所构建的对应关系，则是代数方式的“y=f（x）有零点”、“f（x）=0有实根”和几何形式“y=f（x）的函数图像和x轴的交点”之间的相互转化，也就是“数”“形”互相转化的形式，基于此，学生就能够以数形结合的方式对“数”“形”的关系进行理解与掌握，并通过数形结合运用函数图像的零点定性对无法有效解决的方程实数根进行判断，并以根的方式对函数是否有零点进行判断。

2.在概率问题中的应用

概率通常和集合有一定联系，因此，不同的概率事件、概率间的基础运算通常能够与集合之间的关系、集合间的基础运算处理的过程构建相对应的关系。对于集合部分而言，其运用数形结合的方式通常是以Venn图进行体现的，因此，不同事件之间的关系也能够通过Venn图进行处理，以便于概率的计算。另外，几何概型通常是把事件之间的关系以几何图形的方式进行表示，然后，通过图形的长度比、面积比以及体积比对概率进行表示，这也属于数形结合的应用方法。

3.在解析几何问题中的应用

所谓的“解析几何”，主要是由数学专家笛卡尔所建立的。不论是一维的数轴，还是二维的直角坐标系，其都能实现“数”“形”的有机结合，这也属于数形结合充分体现的部分。对几何问题进行归纳总结成代数形式的相关问题，并通过定理或者公式的角度，对图形问题进行解决的过程。例如，在对直线的斜率进行讲解时，以代数计算的方式对直线之间垂直或平行的位置关系进行判断，而通过对直线之间的位置关系进行直观的观察，也能获得对应的代数间的关系式。同理可知，两点之间的距离和点到直线之间的距离也能够通过数形结合的方法进行解决。对于圆与方程的相关内容而言，圆的方程式通常是通过平面直角坐标系当中的圆具备的几何性质和两点之间的距离公式有机结合获得。除此之外，对于点与圆、圆与圆、线与圆之间的位置关系而言，其不仅能够从图形上进行直接观察，而且还能够通过数字计算，如圆心到直线的实际距离和半径r的关系、点的坐标是否符合方程代数式等，由此就能够对直线与圆、点与圆、圆与圆之间的位置关系进行有效判断，其也属于数形结合运用于数学教学中的体现。

4.在三角函数问题中的应用

通过几何学中的平面直角坐标系以及单位圆，其不仅能够通过任意角代数进行表示，而且还能够对不同角之间的位置关系进行直观观察，同时，通过几何学具备的图形语言，还能获得基本的代数表达式以及三角函数，或者是反过来通过三角函数值对三角函数的图像进行构造，从而充分表现出数形结合的运用。通过单位圆具备的特殊性对三角函数的相关内容进行探究，例如，三角函数中的和差运算以及诱导公式等，其通常也能够有效呈现出数形结合的应用。最后，对函数y=Asin（ωx+φ）过控制变量法对A、ω、φ对函数图像产生的影响进行获得，相反的，通过函数图像，就能够得到代数解析式当中的A是振幅，周期是T=2πω，相位是ωx+φ，初相为φ。因此，该部分内容也能够充分体现出数形结合的方法。

5.在方程问题中的应用

在方程相关的问题中，学生通常能够对已知条件当中的变量关系实施分析，并对方程当中所含有的等量关系进行提炼，以此在坐标系当中画出变量与等量的关系，从而使问题的求解得到预测的结果。例如，在对方程零点的个数进行求解的问题中，学生事先通常是不知道方程的具体零点个数，为了避免少求或多求零点，教师可以依据方程具备的特征，将其转变为函数关系，并在坐标系中进行表示，这种解题方式虽然不能明确知道零点的具体位置，但是，却能够对零点处于的区间和零点个数进行把握，这样可以有效防止学生在求解中出现错误。

综上所述，将数形结合运用于高中数学的具体教学中，不仅能够使学生的学习质量得到有效提高，而且还能丰富学生的解题思路，从而使学生全面、高效的掌握数学解题方法。对于数学教师而言，首先需要对数形结合理念具备的现实意义与教育价值进行明确，然后通过例题分析、合作學习等策略，高效的运用数形结合理念，从而确保数学教学目标的有效落实，并使高中生具备的学科能力得到有效发展。

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[4]李锦明.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用探讨[J].数学学习与研究，2019（07）：83.

（作者单位：甘肃省靖远县第三中学，甘肃 白银 730600）