一种残差 χ2与改进SPRT 互辅的故障检测方法*

高 超，赵修斌，庞春雷，张 闯，王 勇

（空军工程大学信息与导航学院，西安 710077）

0 引言

目前，SINS/GNSS 松组合导航在无人机上已广泛应用，卫星导航信号可以很好地辅助惯性导航，以抑制其误差积累。但在实际应用中，由于卫星导航信号易受干扰，观测量会产生各种偏差，如果不能及时检测出偏差并对故障信号进行隔离，错误的观测将会对导航结果产生较大影响。

在故障检测方面，常用的有χ2检测法和SPRT方法［1］。其中，χ2检测法是一种系统级故障检测方法，包括状态χ2法［2］、双状态χ2法［3］和残差χ2法。状态χ2法对系统缓变故障有很好的检测效果，但其递推器在工作中需要滤波结果的校正，这存在误差积累和被污染的矛盾。双状态χ2法在一定程度上减小了递推器被污染的概率，但如何确定其两个递推器校正时间间隔仍没有合理的方法，在应用中大多是利用经验值［4］。在残差χ2法检测过程中，利用状态预测值与突变的量测值差异，通过残差信号构造检测函数来判断量测值中是否有故障信号，该方法对大幅值突变故障能够很好地检测，但在故障幅值较小且持续时间较长时，由于残差的跟踪特性，故障检测函数值会逐渐下降甚至降到检测门限以下，造成误检。序贯概率比检验法（SPRT）是一种有效的缓变故障检测法［5］，但在故障发生前，对数似然比会一直减小，当一旦发生故障，需要一定时间才能达到检测门限。据此文献［6］提出用常数补偿的方法来缩短延迟时间；文献［7］提出当残差为正态分布时的改进SPRT 方法，能够缩短检测延时，但该方法仍不适用于突变故障的检测，且改进SPRT 方法在故障结束后不能及时用于后续检测；文献［8］提出用残差χ2法辅助判断故障结束，但当残差χ2法出现漏检或误检时，不能正确判定故障是否结束，该方法存在一定风险。

本文研究了故障值的可检测性，并结合残差χ2法对突变故障立即响应和改进SPRT 方法对故障不漏检的优势，提出了一种残差χ2与改进SPRT 方法互辅的小幅值突变故障检测方法。通过仿真分析，验证了该方法的优越性。

1 残差χ2 法检测原理及分析

1.1 残差χ2 法基本原理

残差χ2法根据服从高斯分布的n 维向量均值和方差来构造检验统计量，根据先验分布门限，对假设检验进行取舍［9］。

系统状态量和量测值表示如下：

其中，Φk，k-1为系统状态转移矩阵，Wk为系统噪声向量，Γk-1为系统噪声矩阵，Vk为观测噪声向量，Hk为量测矩阵。υ 表示故障量幅值，δ（k-1，γ）为Kronecker 函数，当k-1=γ 时取1，否则取0；Wk与Vk为互不相关且为零均值白噪声序列。

在卡尔曼滤波中，将残差表示为

当信号无故障时，认为残差向量服从0 均值的高斯分布，其方差为

当信号出现故障时，认为其均值不再为0。因此，可根据这一特点来判断信号质量。

构造检测函数

可以证明，该检测函数服从χ2分布，其自由度为选取的观测量维数。

在应用中，由可容忍的误检率，可计算出门限值TD。故障判别条件为

1.2 故障大小的可检测性分析

残差χ2检测法在一定的误检率和漏检率下进行故障判别，故障幅值越大越容易检测。为了更好地研究残差χ2法的检测效果，有必要对故障幅值大小的影响作分析。

假设故障发生在某一维观测量上，故障信号幅值表示为υ，该维残差向量表示为

相应的残差均值由0 变为υ，由故障引起的统计量的变化为

其中，Pδi表示残差方差阵对角线上第i 个元素。可以看出故障幅值越大，检验统计量也就越大，就越容易被检测到。

根据文献［10］，在一定的误检率和漏检率下，可以计算出非中心化参数，则最小可检测误差MDB（Minimal Detectable Biases）表示为

当故障发生在多维观测量时，统计量为

MDB 表达式中的分母相应的为m 个残差协方差阵对角线元素的和。根据以上分析，当故障值在小于最小可检测误差时难以被检测到，幅值略大于此的可以认为是小幅值故障。

1.3 检测特性分析

根据式（6），残差表示为实际量测与预测量测的差值，包含了量测信息的状态，滤波输出的状态量通过增益产生“跟踪”残差的效果，随着滤波时间的增加，残差接近0，滤波逐渐稳定。但当量测值出现故障时，实际量测值与预测量测值将会在故障开始和结束时不相一致，残差χ2法正是利用该特点来对故障进行检测并判定故障结束时间的。

为分析不同故障持续时间对故障检测效果的影响，设置不同的仿真情况如下：

图1 不同故障持续时间的预测量测值变化趋势

以纬度出现故障为例，在400 s～600 s 内加入幅值为100 m 的故障。由图1 中左图可以看出，在故障开始和结束时实际量测值与预测量测值有大的区别，而预测量测值在故障期间保持稳定。

然而，当故障持续时间较长时，由于一步预测过程没有信息的更新，滤波误差会随时间逐渐增大，造成故障检测函数值的逐渐减小，甚至降到门限以下，出现漏检问题，此后，含故障信息的量测值会使预测量测值“跟踪”实际量测值。因此，当故障结束时，由于数据上的突变，必然引起检测函数的变化，而此时检测函数会给出有故障的判定，造成误检。

仍以纬度出现故障为例，在400 s～1 200 s 内加入同样大小的故障。由图1 中右图可以看出，在800 s 处，预测量测值出现“跟踪”实际量测值的现象，在1 200 s 处，故障结束时出现数据突变的现象。

在SINS/GNSS 松组合模式下，当检测出故障后，通常用一步预测值来进行滤波更新；若故障持续时间较长，由仿真结果知，误差大的一步预测值会造成残差χ2法的整体检测效果不好，需要作分量检测，隔离故障量并重构观测方程。

2 改进的SPRT 检测方法

传统的SPRT 方法由于检测值为负值而造成检测延时，在进行故障检测时，会由于参数发生连续变化造成一定的风险，因此，在状态量为正态分布时，提出一种改进的SPRT 检测方法［7］。

则观测序列必将从两个假设中作出二选一的判决。

依据两者的概率密度，可以得到对数似然比

进而可得到对数似然比的递推计算公式为

改进的SPRT 方法只需一个检验阈值，其计算方法与传统SPRT 算法一致：

其中，Pf为误检概率，Pm为漏检概率。

故障判决准则为

3 残差χ2 与改进的SPRT 互辅检测方法

在SINS/GNSS 松组合导航方式中，针对突变故障，残差χ2法能够立即响应，检测效果明显。但当故障幅值较小且持续时间较长时，由于递推过程误差大，会出现漏检问题，且在故障结束时因数据突变会出现误检问题。改进的SPRT 检测方法不断进行叠代递推，因此，在突变故障开始时，不能立即响应，在故障结束时，也会有迟滞性；但在故障持续期间，由于检测函数充分利用前一时刻的检测值，因此，会持续告警不会出现漏检问题。针对两种检测方法的特点，提出一种残差χ2与改进的SPRT 互辅检测方法，检测方法流程如下页图2 所示。

图2 残差χ2 与改进的SPRT 互辅故障检测算法方案

对导航滤波器残差分别进行改进的SPRT 方法检测和残差χ2法检测。当残差χ2法准确检测到突变故障后，滤波更新采用一步预测的方式进行，当改进的SPRT 方法检测到出故障的分量时，进行故障隔离与重构，两种方法进行结合，能够准确判断故障开始时间，并且递推过程不会太长，积累的误差较小；在SPRT 和残差χ2法均告警期间，认为故障一直存在，不会出现漏检问题；当残差χ2法判断故障结束时，对改进的SPRT 方法检测函数值置0，提高后续检测的准确性。

4 仿真试验

为验证本文提出的互辅检测方法的有效性，在SINS/GNSS 松组合导航方式下，设计当卫星数据出现故障时的仿真试验。

4.1 仿真条件的设定

设定无人机飞行轨迹，考虑飞机可能存在的飞行状态，包括起飞、转弯、平飞和降落。飞机初始位置设为北纬34°，东经108°，高度0 m，初始速度为0，初始方向为正东。仿真中设置惯性器件的误差分别为陀螺随机常值漂移为0.1（°）/h，加速度计随机常值漂移为10 μg；卫星数据的误差分别为位置误差10 m，速度误差0.1 m/s。仿真时长为25 min。

4.2 故障大小的分析

SINS/GNSS 松组合导航中观测量包括三维位置和三维速度，首先分别得到每个观测量的最小可检测误差（MDB），本文设定检测方法的误检率和漏检率均为0.005，则残差χ2法检测门限为18.548，改进SPRT 方法的检测门限为5.293，对应的非中心化参数为17.872。

由图3 可知，残差χ2法对位置观测量的最小可检测误差约为42.5 m，对速度观测量的最小可检测误差约为0.42 m/s，相当于噪声水平的4.2 倍。仿真观测量出现故障的情况。人为添加故障如表1 所示，结果如图4、图5 所示。

图3 观测量最小可检测误差（MDB）

表1 故障设定情况

图4 纬度故障可检测程度

图5 纬度故障残差检验统计量

从纬度结果来看，故障模式1 下，纬度故障值40 m 与最小可检测误差非常接近，利用残差χ2法检测时，当故障初次出现时，检验统计量没有大的突变，故障持续期间，出现大量漏检，不能准确检测；故障模式2 下，纬度故障值60 m，在故障初次出现时，能够体现出残差χ2法对突变故障的敏感性，但会出现较多的漏检情况；故障模式3 和4 下，残差χ2法均能准确检测，检测效果较好。

考虑只有一维观测量有故障的情况，故障在小于或处于最小可检测值附近时，属于检测盲区，难以被正确检测，通过仿真分析，当故障值为最小可检测值的两倍以上时，可以被很好地检测。其余各观测量所得结果一致。

4.3 互辅故障检测算法性能分析

本文研究小幅值突变故障检测问题，选择故障模式3，纬度故障大小为70 m 作为小幅值突变故障，仿真故障时长为800 s，研究本文提出的互辅检测算法的有效性。

图6 长时间小幅值突变故障残差χ2 检测法和改进的SPRT 检测法检测结果

该故障模式下残差χ2法和改进的SPRT 法的检测结果如图6 所示。在400 s 处，残差χ2法能准确检测到发生故障，但故障检验函数呈明显的下降趋势，随着故障检测函数的减小，约在650 s 降到门限以下，出现漏检；对故障结束时的1 200 s 处，数据变化引起的检验统计量突然增大，误认为故障开始，造成误检，得到错误的结论。而改进的SPRT 方法，在故障期间由于叠代递推作用，会持续告警，不会出现漏检问题，但改进的SPRT 方法对突变故障的检测不如残差χ2法灵敏，存在25 s 的检测延时，且在故障结束后由于叠代作用造成误检，误检延时为91 s。

本文提出的互辅方法检测结果如图7 所示。其中右图故障判定中“1”代表有故障，“0”代表无故障，可以看出，对于持续时间长的小幅值突变故障，在400 s 时，残差χ2法判断出故障开始，但在故障持续期间出现大量漏检现象，且在1 200 s 处，故障结束时得到故障开始的错误结论；而本文提出的互辅检测方法能够准确检测到故障开始和结束时间，且在故障期间，没有漏检问题发生。在准确判断故障结束后，如图8 所示，可以为改进的SPRT 方法检测函数置0，使其能够立即用于后续检测，避免了漏检和误检对其错误重置，消除了延迟时间对后续检测的影响。其中，故障期间SPRT 方法检测函数值持续增长是因为正确隔离故障导致每一时刻残差值都较大，叠代递推后检测值也很大。从两种方法的纬度误差对比结果看出，本文提出的算法在故障期间能够抑制故障对滤波过程的影响，保持较高的滤波精度。

图7 互辅算法检测结果及故障判定情况

图8 改进的SPRT 检测函数和纬度误差比较

5 结论

本文针对残差χ2法对持续时间长的小幅值突变故障会出现漏检和误检的情况，分析了故障量的最小可检测值，通过验证不同大小故障值的可检测程度，研究了故障大小的界定问题，在此基础上提出了一种残差χ2与改进SPRT 方法互辅的突变故障检测方法。当残差χ2法检测到故障后，根据改进的SPRT 方法判断故障的存在状态，并进行隔离重构，避免了长时间递推引起的误差以及漏检和误检问题，且对故障结束的正确判定能够用于辅助改进SPRT 方法继续进行后续检测。仿真分析表明，本文提出的互辅方法能够提高检测性能，降低导航设备使用错误数据的风险，维持滤波精度，能够提高飞行器的可靠性。