问题—建模—运用

摘 要：初中阶段的数学知识覆盖面广，涉及代数方面的有理数、几何方面的三角形相似和全等等知识。初中阶段的综合应用题在中考试卷中比重较大，教师设计试题时重点考查学生的综合分析能力，通常联系生活实际考查学生的数学思想、数形结合思想以及分类思想等。新课程改革到来之际，我国初中数学教师正在进一步探索高效率的数学综合应用题教学方法。本文结合初中学生特点深入分析问题—建模—运用的综合应用题思维教学模式，希望能够将理论和实践结合，化抽象为具体，为初中数学教学工作者带来部分启发。

关键词：数学建模;综合应用;数学思维;实际问题

初中数学教学应当追求标新立异，在实践探索中提升学生的综合应用能力，发散学生的数学思维，提升学生个人能力。初中的数学综合应用题目强调理论知识和数学思维的结合，考查学生在数学核心素养下的分析能力和应用能力。初中数学教师应当采取科学的方法为学生提供专业的教学和指导，帮助学生深入理解初中数学知识，让学生在课堂上获得数学知识、提升个人能力并树立正确的数学学习观念，实现对学生的引导教学和思维渗透教育。

一、 数学建模概念及初中数学建模概述

数学建模是指建立合适的客观数学模型实现对于问题的探索和本质规律的揭示。数学建模应用广泛，初中阶段的数学教学建模只是数学建模中的一小部分，学生在大学阶段仍然需要利用数学建模的思想解决问题。数学建模方法能够将抽象的数学问题进行简化，依靠假设实现变量的引入，进而利用数学公式解决实际的问题。初中学生缺乏生活经验，接触实际综合应用问题时没有清晰的思路，对此，初中数学教师可以从自身的生活经验入手，为学生逐层分析数学问题，设置疑问，引出数学题目，引入合适的数学模型，提升学生的数学模型应用能力，并创立合适情景鼓励学生通过阅读分析数学题目展开大胆的猜测和合理的推理，寻找合适的数学模型交流解决相关问题。

初中阶段的数学建模强调生活实际的抽象，教师需要整合学生的生活经历和学生的接受能力，为学生建立合适的数学模型，引发学生的深入探索。初中数学科目的综合应用题目题干普遍比较长，学生需要在较长的提干中提取有效的信息，教师在指导学生建模过程中应当从题干入手，将学生引入合适的问题情景之中，通过设问帮助学生自主构建数学模型，培养学生实验猜测和推理交流的数学学习能力。初中阶段的数学建模重点围绕各个数学变量和定量之间的数量关系和它们的变化规律以及图形和数字的结合应用方法。采用问题—建模—应用的数学渗透教学模式可以帮助学生更加全面的认识生活中的数学问题，进一步了解社会进步和数学应用之间的双向促进关系，实现三维教学目标，在提升学生学习能力、丰富学生知识面之外进一步激发学生对于数学科目的学习兴趣。

二、 初中数学建模方法以及教学方法分析

初中的数学课程体系主要包括有理数与整式、几何图形、方程、概率与数据统计以及函数，其中几何图形和函数是初中数学的教学重点与难点，综合应用题目也经常考查学生对于函数的构造以及生活中的数学函数应用。初中阶段比较常见的数学建模方法主要有方程模型法、不等式构造模型法、目标函数模型构建法、统计模型构建法和几何模型构建方法，接下来本文将会做出详细介绍。

（一）目标函数模型构建法

在初中阶段，目标函数的模型构造是在综合应用题目中考查最为频繁的一种建模方法。函数是初中数学的教学重点，学生不仅需要理解函数的概念，同时也需要掌握函数的构造方法，并且能够理解一次函数和二次函数的图形走势，进而构造合适的函数解决实际生活中的问题。目标函数模型通常和最大利润问题结合起来，考查学生的数学模型构建与分析能力。除此之外，学生在构造函数时还需要具备数形结合思想，例如初中常见的分析最大利润问题，学生往往需要构造合适的二次函数，寻找函数的最高点，确定最大利润和具体的工作方案，在解题过程中，学生需要画出函数的草图，分析函数性质，再利用函数表达式求出关键点。

这一类问题被称为最优化分析，学生需要整合题干中的有效信息，提取数据，构造合适的函数，结合图形或者是数学公式求出满足题目中变量或定量范围的函数的最大值或是最小值，得出最优方案。

（二）方程与不等式模型构建方法

初中阶段，方程常常和未知数联系起来对学生展开考查，而不等式强调对于范围考查。方程模型的核心思想是方程的构建，这一点同样适用于不等式，即不等式模型的核心思想是构造合适的不等式组或是不等式。生活中的各个数据之间的关系不全是等值关系，学生应当分析其中的数学关系，根据题目所给出的数据范围构造合适的不等式。初中阶段常见的综合应用题目还会对学生的不等式构造和方程构造实现综合性考查，多数情况下，学生需要构造出一元二次方程，并根据题目规定的数据范围列出不等式排除方程的一个解，最终得到一个唯一解。总体来说，初中数学对于方程和不等式思想的考查主要集中在路程问题、分配问题以及生产方案的确定问题上，需要学生耐心分析数据准确定位。

（三）几何图形及三角函数模型构建方法

初中阶段的几何分析是学生学习的难点，初中数学综合应用题在几何方面的考查点主要集中在三角形相似和全等上。学生需要深入理解三角形相似和全等的概念和性质，能够在题目给出的图形中添加辅助线，找到相似三角形或全等三角形。除此之外，数学综合分析类题目会涉及桥梁建筑等实际生活的知识，考查学生的模型构建和抽象几何思维。初中阶段，学生学习和“圆”相关的知识时，会考查学生对于三角函数的構造能力，学生需要灵活运用余弦和正弦的知识，结合圆的性质，解决问题。

（四）统计模型的构建方法

学生从小学阶段就已经对统计知识有所接触，但是初中阶段的统计知识更为系统，同时会结合数据分析的思想，具有代表意义的章节是七年级下册的《数据的收集、整理与描述》，学生需要展开统计调查，并学习直方图的绘制，掌握抽样方法的使用。教师指导学生构建数学统计模型时需要为学生讲解直方图、条形统计图、折线统计图等的绘制方法，并帮助学生理解中位数、极差、方差、标准差等数学量的概念，指导学生分组总结数据，做出预测分析。

除了以上四个模型之外，数学建模还有其他的方式，但是核心思想都是将生活中的实际问题进行抽象化，融入数学公式和定理，寻求问题的解决方案。教师在为学生讲解模型构造的具体方法时也应当带领学生积极探索，适当拓展数学知识，丰富学生的课堂体验，激发学生的数学应用潜能。

三、 问题—建模—运用的数学教学思想在初中综合应用分析题目教学课堂的渗透应用分析

教师在指导学生展开建模之前应当为学生设置合理的问题，逐步引入需要讨论的问题。比如教师在针对“目标函数的构建模型”展开教学之前，应当让学生思考和模型相关的实际问题实现对课程的导入讲解，比如“大家在生活中购物的目的是否是用最少的钱获得最多的商品”“如何分配才能实现金钱的合理使用呢”等等，引发学生对于最优化问题的思考。其次，教师可以利用多媒体设备为学生展示具体的题目，让学生理清题目思路后指出自己的疑问以及题目的关键点和适用的模型，提高学生审题能力。

学生对于题目有了初步的认知以后教师可以指导学生综合利用列表、绘图以及关系分析，能放大實现对数学问题的抽象分析，把抽象的文字转化为数学符号和数学语言，这是建立模型的过程。对于不同的问题，教师需要引导学生采用不同的抽象分析方法，例如教师针对七年级下册的《数据的收集、整理与描述》展开综合应用题目讲解时应当引导学生绘制合适的统计图，对数据进行分析和整理。而教师在针对七年级下册的第九章节《不等式与不等式组》展开教学时应当引导学生提取题干信息，整理数学公式，实现数学建模。

合理建立数学模型以后，教师应当引导学生简化应用问题，把题目中的文字信息转化为数学语言并展开假设，平衡数学模型和实际问题之间的关系，解答数学题目。近几年来，初中阶段的数学综合应用类题目都有所创新，有的题目会引入学生没有接触过的数学定理和概念，对此，教师应当在平时的教学中培养学生及时转换数学符号，理解数学概念，将数学概念抽象为数学语言，实现对于新概念的认知。

仅仅依靠良好的开端还不足以让学生完全掌握数学模型在应用类题目中的应用方法，教师还需要通过布置小组作业和学习任务实现对知识的巩固和应用教学。学生建立模型解决数学问题后，教师应当对学生的题目解答做出评价，并为学生分配学习小组，指导学生按小组总结数学模型的构建方法，为学生布置同一类型的模型构建题目，提高学生的模型应用能力，实现高效率的教学巩固。

四、 结语

数学思维和模型对于学生的数学学习具有重要意义。初中的数学教师应当合理归纳数学建模方法，设置疑问实现课程导入，培养学生通过建立合适的数学模型来解决实际应用类题目。数学模型构建方法多样，教师应当结合学生的掌握情况为学生创设合适的问题情景，循循善诱，指导学生建立正确的数学模型，实现对实际问题的抽象和简化，最终得出结果。初中的数学教学能够启发学生，锻炼学生的理性思维，希望本文的建议能够给初中建模教学工作者带来一定启发。

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作者简介：刘新晴，甘肃省庆阳市，甘肃省庆阳市柔远初中。