从意料之中到意料之外*——由学生自主析题引发的核心素养培养的思考

祁国伟

(福建省莆田市第六中学，351111)

随着高中数学核心素养理念的提出,如何提升学生的核心素养,找到其落实的路径成为高中数学教师的研究课题．课堂教学一直以来都是以教师为主导,包括启发式教学也是教师在启,忽视了从学生角度看待数学知识与数学核心素养.换句话说，就是教师经常把我们认为的核心素养启发给学生,而忽视了学生在看到题目后的数学思考及决策.一道题目可能入口很多,怎么决策才是数学的“眼光”,才是知识与素养的生成过程？本文以一次月考后的学生析题为例,谈谈有关核心素养培养的思考．

一、教学案例

例题如图1，已知∆ABC中,A=2B,AB=10,AC=8,则∆ABC的面积是______.

本题为我校20届高三上学期期中考试的试题,命题背景为人教A版必修5第一章复习参考题B组第3题的改编,笔者预设有下面两种解答.

解法1注意到已知两边长及内角的倍角关系,故考虑余弦定理．

评注该解法侧重于代数基本思想(即变量与方程),难点在于运算量大,方程看似简单,但次数较高,系数偏大,学生耗时多,更多的是培养学生的运算能力．

评注该解法以几何关系为突破口,构造角平分线得到一个四点形.优点在于每个小三角形的数据比较简单,利用两个三角形关系得到的方程比解法1更简洁．需要指出的是，解法2要求学生动手作基本图形,且要求学生通过添加辅助线体现出题干中倍角的几何关系,对几何作图和几何直观有较高的要求．

课堂中，笔者随机抽取一名同学进行解答,不出意料,他所采用的是预设解法1,该生自言考场上耗时约10分钟.紧接着，笔者课堂提问如何改进对问题的解答，学生给出的如下析题却大大出乎笔者的意料．

另解1将解法1中的边长数据同时缩一半,即先求AB=5,AC=4时三角形的面积,再同时扩大两倍即可．(具体过程略)

评注将数据缩小一半,使运算量得到优化．这看似简单但效果很好,体现了该生对算理(即相似三角形)的理解非常到位,对数据简化这个算法的应用娴熟．数学运算这个核心素养的难点就在于算法与算理的优化,从该解法我们可以看到素养培养的路径之一:聚焦目标,优化算理．

评注该生的这个解法是教师没有预设到的,其核心是四点形的应用.通过构造法使得题干数据归结到等腰∆ACE,避开BC边长的计算,直接找到AB边上的高,从而得出面积．该解法反映了数学直观素养的重要性.把解三角形问题视为几何问题,可以改变我们在教学时存在的重代数轻几何的现象,将数形结合思想成为学生自发的一种行为准则,使数学直观素养的培养水到渠成．

需要指出的是：另解2略有逻辑上的缺陷,就是E点是否存在需要说明．课堂上也有学生指出这个问题,于是笔者将问题抛给学生当场解决,结果同学们开始尝试几何解决，其解法如下:

综合以上几种改进解法，都是在构造四点形,都需要几何直观素养的参与.这提醒我们要提升学生的几何直观素养，应该鼓励学生对几何问题的几何本质作出思考.优化几何对象及其关系,尝试用图形语言表达数量关系，使数形结合的解题思想落到实处，特别是解三角形和解析几何这两类主干知识．

二、延迟测检

为了知道直观想象在解三角形中的落地情况,两周后笔者在课堂上给出下面两道测试题,测试时间为20分钟．

例1(2014年全国高中数学联赛一试题改编)如图5，设椭圆Γ的两个焦点是F1、F2,过点F1的直线与Γ交于点P、Q,若|PF2|=|F1F2|,且3|PF1|=4|QF1|,则椭圆Γ的离心率为______.

学生给出的解答如下.

评注也有学生分别在∆PF1F2和∆QF1F2中利用∠PF1F2和∠QF1F2的余弦值相反，解得c=5m．

解法2注意到|PF2|=|F1F2|,如图5，作F2M⊥PQ于点M,则点M为PQ中点.设|PF1|=4m,|QF1|=3m,同解法1可知|PF2|=2c,|PM|=2m,|QF2|=m+2c,|QM|=5m.由PF22-PM2=QF22-QM2,可解得c=5m．

评注使用解法1的学生最多(接近一半),但计算量最大,说明在计算的选择上并没有认真分析；用解法2的学生大约有四分之一，表明他们已经有很明显的几何直观优先的思维了,值得称赞．

例2(2019年全国高中数学联赛江苏省预赛题)已知∆ABC中,AC=8,BC=10,32cos(A-B)=31,则∆ABC的面积是______.