基于双层空间理论的教学设计——以“等差数列的前n项和”教学为例

彭 宇

(江苏省扬州大学数学科学学院，225002)

“等差数列的前n项和”在高中数学中有着重要的地位,因为学生是初次接触数列求和问题,所以对于等差数列前n项和公式的推导和应用存在一定的困难.为了解决学生的困难,调动学生学习积极性,使学生获得良好的思维训练，这里，基于双层空间理论和生活化教育理论,将“等差数列的前n项和”的教学作如下设计．

一、教学内容分析

“等差数列的前n项和”是在学生已经学习过数列的概念与简单表示法、等差数列的通项公式之后,对等差数列性质的进一步学习.根据课程标准的要求,本节课的主要内容是探索等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,掌握等差数列前n项和公式并能灵活地运用公式解决各类与之相关的问题.

“等差数列的前n项和”的定义是等差数列第1项到第n项的和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.定义本身容易理解,关键是如何求得Sn的值.理解并掌握等差数列前n项和公式需要分三步：第一步是探索公式的推导过程，这部分内容的教学采用的是从特殊到一般的思想方法,即先对特殊的等差数列进行研究，然后推广到一般的等差数列.第二步是理解公式中所有字母的含义,明确公式包含几个基本的量,以及知道其中几个基本量可以求其它的量.第三步是运用公式解决问题.根据学生的认知发展水平,本节课知识结构设计如下(图1):

本节课的教学重点是等差数列前n项和公式的推导与应用.

二、学情分析

1.学生的知识基础

学生通过对数列的概念与简单表示法、等差数列通项公式及简单性质的学习,已经对等差数列有一定的了解,能熟练地运用通项公式及其性质,但对等差数列前n项和公式的推导、理解和运用缺乏认识.

2.学生的能力基础

学生在已有知识的基础上,具有下面四种能力:第一,能够通过数列前n项和的定义,理解等差数列前n项和的简单表示.第二,能够计算等差数列前几项的和(项数比较小).第三,能够快速地从1+2+3+…+100过渡到1+2+3+…+n.第四,能从特殊等差数列的前n项和过渡到一般等差数列的前n项和.但是倒序相加法及其运用存在一定的困难.

本节课的难点是判断a1+an=a2+an-1=…=an+a1.

三、教学策略选择

《普通高中数学课程标准》要求高中数学教育要为学生适应社会生活等做准备,强调了“生活教育”的重要性.本节课融入陶行知先生提倡的生活教育理论,选取贴近生活的数学素材来设计教学活动,体现数学源于生活、并用于生活的思想,引导学生在实际生活中发现并解决问题．同时，采用Reigeluth、徐斌艳等提出的双层空间理论(见下表)[1],将教学内容与教学活动关联起来．

这里的“活动空间”是指教师设置的一系列让学生自主探索、自主学习、自主成长的活动；“知识空间”是指符合学生认知发展水平的知识串.两个空间相互贯通,让学生真正成为课堂的主体.在课堂教学过程中,通常是以讲授法为主,配合小组讨论．

四、教学目标分析

知识与技能通过学习,理解并掌握等差数列前n项和公式的一种推导过程;能运用公式求解相关数学问题.

过程与方法通过探究特殊等差数列前n项和,学生能将其推广到一般等差数列前n项和;通过问题探究,学生能理解公式中各个符号代表的含义,体会“知三求二”的意义.

情感态度价值观借助生活中的例子,学生能感受等差数列求和的存在性及必要性;通过课外自主阅读,掌握多种推导方法,增强创新意识.

五、教学过程设计

基于双层空间和生活化理论,本节课选取了如下四种类型的学习活动：分别为以生活化为主题的探究活动(记为BL)；相关知识的阅读活动(记为BH)；以学习知识为目的的问题活动(记为BP)；检验知识的练习活动(记为BE).

1.感悟知识

BL1(1) 为了维护城市环境,市政府决定栽种一些树苗,据了解在XX街道一侧的A处,运来了一批梧桐树苗，一名工人从A处开始，沿着街道一侧每隔10 m栽种一棵树,考虑这名工人每次只能运一棵树苗,问工人栽完3棵树,并返回出发地,走了多少米?

BL1(2) 问工人栽完30棵树,并返回出发地,一共走了多少米?

设计意图BL1(1)和BL1(2)都是与生活有关的例子.学生依据已有知识能分析出工人每栽一棵树并回到原地所走的路程构成等差数列.对于BL1(1),学生能快速地计算出结果.但是BL1(2)因为要栽的树苗是30棵,直接计算有困难,从而激起学生的探索欲望.

2.探究知识

BH1 阅读高斯求解1+2+3+…+100的值的材料,体会方法.

BP1 求1+2+3+…+n的值.

设计意图BH1告诉我们一种非常重要的思想方法,即“倒序相加”.这种方法也是推导等差数列前n项和公式的重要方法之一.通过阅读,学生能很容易地将这种方法运用到求解BL1和BP1中去,帮助学生理解等差数列前n项的定义,并将“倒序相加”类比联想到等差数列前n项和公式的推导中去.

BH2阅读数列前n项和的定义.

BP2(1)已知数列{an}为等差数列,求前n项和Sn=a1+a2+…+an.

BP2(2)思考等式a1+an=a2+an-1=…=an+a1

BP2(3)证明若{an}是等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*)，则ak+al=am+an.

BP2(4) 如果用首项a1、公差d和项数n表示，则Sn可表示为______.

设计意图求解BP2(1)时，学生很容易联想到用倒序相加,但对应每一项是否相等可能存在疑问.这时给出BP2(2)引导学生进一步思考,解决疑问.BP2(3)是对BP2(2)结论的总结.BP2(4)不仅可以让学生了解公式的另一种形式,而且可以帮助学生理解等差数列前n项和与一元二次函数的关联.通过这一系列的问题探究,学生能理解公式的推导.

BP3 等差数列前n项和的公式中共涉及哪几个基本量?这几个量分别表示什么?

BP4 这几个基本量中，知道几个可以求出另外几个?你是依据什么数学思想来判断的?请分别写出它们的表达式.

设计意图知道了公式的推导及具体表达式,接下来就是理解公式的具体含义及变式.BP3是让学生了解公式包含哪些基本量并明确各个量的含义.BP4是让学生了解“知三求二”的含义,即知道公式涉及的三个基本量就可以求其它两个量,以便更好地学会用公式解决某些变式的题目.

BL2 某商店的售货员想在货架上用三角形排列方式展示一种罐头饮料.底层放置16个罐头,第2层放置15个罐头,往上每一层比下一层少放1个罐头,顶层放置一个罐头,这样的摆法一共需要多少个罐头?

BL3 一支打井队打完一口井花了13 h.已知打井队打到距离地面1 m处时,花了10 min;打到第2 m处,花了30 min;估计以后每向下打1 m花的时间,都比前1 m多花10 min,问打井队打的井有多深?

设计意图BL2是对公式的简单运用,学生根据题意判断出罐头饮料的摆放个数构成等差数列,从而根据公式计算.BL3考察的是学生对公式的逆运用,目的是检验学生对BP4的理解.BL2和BL3都是生活化的例子,题目本身没有太大难度,目的是让全班学生都参与到课堂活动中.这样调动了学生的学习积极性,让学生体验数学来源于生活,并用于生活.

3.巩固知识

BE1 在80到180之间插入50个数,使其构成等差数列,求插入数的和.

BE2 已知等差数列{an}前10项和S10=310,前20项和S20=1 220,则等差数列{an}前n项和公式可以表示为______.

4.课堂小结

BP5 回顾等差数列前n项和公式的推导,总结两个公式.

BH3 课后阅读陆楷章的“是教材设计的缺陷吗”[2]和刘汉顶的“等差数列前n项和公式的另一种推导方法”[3].

设计意图BP5的目的是突出本节课的重点.BH2第一篇文章是为解决等差数列“首尾配对求和”问题,让学生感受分类讨论思想的运用,感受“首尾配对”与“倒序相加”的差异性.第二篇文章是从其它角度推导等差数列前n项和公式,阅读这些文章既可以扩大学生的视野又可以培养学生的创新意识.

整个教学过程设计中,教学活动设计与知识发展对应关系,如图3所示: