立足数学核心素养 追求概念自然生成——以“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”一课为例

时训江

(江苏省南京市第十三中学,210008)

一、 基本情况分析

1. 教材地位及作用

“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”是苏教版高中数学必修4第一章第三节的内容．三角函数是高中数学核心内容之一,是学习高等数学及其它学科的基础，是刻画周期性现象的重要数学模型，也是解决实际问题的工具.本节课是在一般函数概念及性质研究的基础上,研究的又一个典型函数模型,主要是从数和形两个角度研究参数A、ω、φ对正弦函数图象的影响,揭示了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx图象之间的变换关系,是图象变换研究的延续和发展．

基于以上分析,本课的教学应突出让学生借鉴已有研究函数图象性质的经验,自主探究,主动建构,自然生成,从特殊到一般,逐步完善认知数学概念的能力,掌握研究函数一般路径和方法,为今后的学习奠定基础．

2. 教学重点与难点

重点:经历作图的过程,理解参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响,掌握其规律．

难点:周期变换与相位变换的先后顺序变化,对图象影响的理解．

3. 学情分析

在本课之前,学生学习了函数的相关概念及研究方法，特别是通过平移变换研究了函数图象变化,掌握了平移变换的一般规律，形成了一定的研究能力,这些均为本课的探究学习提供了基础．

4. 教学目标分析

(1) 让学生通过“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图,直观感知A、ω、φ对函数图象变化的影响;

(2) 围绕“参数A、ω、φ对y=Asin(ωx+φ)图象的影响”这一问题,让学生经历确定研究对象,制定研究策略等数学活动,感受主动探究的意义,提升核心素养．

二、教学流程设计

从建构主义的角度来看,数学学习是指学生自己主动建构数学知识的过程．在数学活动的过程中,学生与教材、学生与教师之间产生交互作用,形成数学知识、技能和能力,提升思维力,培养坚忍不拔的毅力和解决问题的能力．基于此,笔者把这一节课的教学活动分成以下四个环节来进行:

1.创设情境 引出课题

通过动画演示弹簧振子震动,引出用函数y=3sin(2x+1)来刻画该运动过程,抽象出其一般形式y=Asin(ωx+φ),从而引出研究的课题．

设计意图让学生体会到本课的研究具有丰富的实际背景,感受研究的价值,同时让学生形成认知冲突,感受到研究的必要性,激发研究的兴趣,也自然引入课题．

2.主动探究 建构理论

问题1三角函数是特殊函数模型,以前我们是如何研究函数图象的?可以从哪些角度进行研究?

设计意图强化三角函数的本质是函数,一般函数的研究方法适合三角函数,在此基础上,切合学生的认知起点,引导学生由旧引新,帮助学生建构三角函数图象研究的过程,这是本节课的生长点．基于此,提出探究问题:

问题2如何在函数y=sinx图象的基础上,研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象?请大家制定研究方案．

设计意图让学生在小组充分交流、合作、讨论的基础上,共同确定研究的角度和策略,制定研究的方案．让学生经历主动探究的过程,感受研究策略制定的成就感．教师在此过程中,扮演组织者、引导者角色．

提出问题后,教师将学生进行分组,确定每个小组负责人及成果汇报人,给每个小组充分讨论时间,教师巡视,适时给每个小组个性化指导．并组织学生进行成果汇报．

取特殊值进行研究,例如:y=3sin(2x+1).(从特殊到一般,归纳总结)

方案一:五点法作图,从图象直观感知y=sinx与y=3sin(2x+1)图象之间的关系．(整体把握,总结规律)

方案二:研究三个函数y=3sinx,y=sin 2x与y=sin(x+1)的图象与函数y=sinx的图象之间关系．(分而治之,各个击破)

问题3这些研究方案,你考虑成熟了吗?哪个方案更好些?

教师组织学生进行互动讨论．

问题4图象上的直观感知,你是如何得到的?

教师用几何画板画图验证,加深直观感觉．

设计意图学生分组汇报研究方案,这些方案都是个性化的,引导大家分析比较这些研究策略,交流、讨论,权衡利弊,汲取大家的智慧,总结提炼出最佳方案．利用计算机辅助技术,帮助学生强化直观感觉,进一步加深对图象之间变换关系的理解．

问题5从形的角度,我们可以直观感知图象之间关系;从数的角度,我们如何加以解释?

问题6图象是由点所构成,能从图象上对应点的坐标变化规律来解释吗?

设计意图形少数时难入微,以数解形,更有利于提升学生的思维能力．让学生从形和数两个角度认识A、ω、φ三个参数对三角函数图象的影响,体验数形结合的数学思想方法在解决问题中的应用．

3.数学应用 巩固提高

为了检测学生对形如y=Asin(ωx+φ)函数图象的理解,设计下面例题．

设计意图鼓励学生利用多种方法进行作图,一方面强化通过图形变换进行作图,另一方面也不忽视五点法作图,数形结合,学以致用,提高学生解决问题的能力．

4.课堂小结 回顾反思

问题7通过本节课学习你有哪些收获?

设计意图通过学生总结,教师提炼总结,让学生体会研究函数图象变换的过程中所蕴含的数学思想方法和主动探究、合作交流的品质．最后,以名人名言作为结束语,激发和鼓励学生保持主动学习、积极探究的良好状态．

三、教学反思

本节课是研究三角函数图象性质的总结课,也是概念课．这就需要教师根据实际情况,认真钻研教材设计意图,从本章知识整体的角度设计教学流程,从而使学生能够感知本章知识的相关背景、实际应用,感知学习相关内容的重要性．本节课的教学要让学生充分感知研究函数图象的一般方法,从宏观上让学生感受研究问题的一般架构和思路,通过y=Asin(ωx+φ)函数图象研究的过程,提升学生数学核心素养,同时让研究图象性质的方法在活动过程中得到自然建构．本节课以7个问题组成的问题串为载体,问题之间环环相扣,层层推进．以此吸引学生注意,组织学生演练,启发学生多角度思考,激发学生讨论,引导学生概括、迁移;尽可能地缩减无效教学时间,让学生学有所获、有成就感,掌握知识、技能,领悟思想、方法,在数学活动参与的过程中激发潜能,提升学科素养．立足核心素养,数学概念在师生交流互动的过程中,学生主动建构知识,让概念在教学活动中自然生成．

数学核心素养不是高高在上的空中楼阁,应该是以数学知识的教学为载体踏踏实实的过程提升,过程中不断调动学生学习的积极性和参与意识,激发他们再创造的能力,唤醒藏在学生内心的潜能,这样，我们的教学改革才不至于舍本逐末．