试论微元法在高中物理解题中的应用

■李俊杰

微元法是一种从局部求解整体的解题方法。利用微元法求解可以将复杂的物理过程转变成数学的物理规律,从而保证问题的顺利解决。下面举例分析。

1.求解质量问题

微元法的关键是先将整体分解成多个微小单元,再对各个单元进行分析,最后达到解决整体的目的。在求解一些复杂的质量问题时,利用微元法可以很好地简化计算,提高解题效率。

例1一辆汽车在水平地面上加速运动,汽车中有一杯水,水面与水平面间的倾斜角是θ,试求汽车启动的加速度大小及方向。

解析：本题中可以将倾斜的水面看成是研究对象,其受力情况如图1所示,F合=Δmgtanθ,由牛顿第二定律得F合=Δma,解得a=gtanθ,方向与汽车的启动方向相同。

图1

2.求解动力学问题

当遇到非匀变速运动力学问题时,如果采用一般的运动类解题方法,不仅需要很大的运算量,而且容易出错。若是利用微元法,从局部入手,就能快速求解。

例2质量为m的物体从地面以初速度v0向上垂直抛出,该物体的运动速率随时间t的变化关系如图2所示,若该物体受到的空气阻力与速度成正比,求：

图2

(1)该物体在整个运动过程中空气阻力做的功。

(2)物体抛出瞬间的加速度。

(3)物体在t1时刻的高度。

解析：(1)由功能定理得。

(2)空气阻力f=kv,物体在落地前做匀速运动,由平衡条件得mg=kv1。设物体抛出时的加速度为a0,则ma0=mg+kv0,解得。

(3)设物体在上升过程中的速度为v,加速度为a,则ma=-(mg+kv),解得a=。利用微元法将物体上升的过程转变成多个过程,在任意时间段Δt内物体的速度变化是Δv,则Δv=aΔt=-gΔt-。又 有 Δh=vΔt,∑Δv=,结合题目信息得0-,因此物体在t1时刻的高度。

3.求解位移问题

求解导体在匀强磁场中的光滑轨道上的位移问题时,利用微元法将运动过程分成多个时间内的匀速运动过程,可以快速得出答案。

例3质量为m的金属块位于光滑的平行轨道上,轨道的宽度为L,磁感应强度为B的均匀磁场垂直于轨道平面,轨道左侧连接阻值为R的电阻,其他电阻不计,如图3 所示。当金属块从初速度v0水平向右运动时,金属块最远能移动多远?

图3

解析：金属块在运动中所受合力向左,向右做减速运动。采用微元法,在任意极短时间段Δt内,金属块做匀速直线运动,感应电流,金属块所受安培力F安=BIL=,依据定量定理得ΔI=-F安Δt=,又 有 Δx=vΔt,故 ΔI=。Δx是极短时间段Δt内金属块的位移微元,因此金属块的最大位移,解得,由动量定理得∑ΔI=0-mv0,故。