由“非负整数”概念争议想到的

■钱德春

一、问题的由来

笔者发现：一些初中数学辅导书和测试卷中频频出现“非负整数”这个名词。如某测试卷中有这样的题：

非负整数集合：{ …}。

教材中本无“非负整数”概念，教师为了应对诸如此类教辅练习和各种测试，只能在教学中补充“非负整数”这个概念，但效果适得其反。如不少学生将除“-3”外的所有数都填入了集合，这显然有违试题本意。此时教师还需要花大力气纠正：“非负整数，非负——整数，即不是负数的整数”，这给教与学带来了额外的负担。前不久，某QQ群针对“非负整数”概念进行了激烈的争论。

本文拟通过学生认知错误和教师争议原因分析，对“非负整数”概念考证，谈谈对数学概念研究及教学的思考。

二、学生认知错误的原因探讨

研究发现，学生对“非负整数”理解产生错误的原因主要有两个：一是生活化语言的影响。“非负整数”的本意是“非负的整数”，强调“非负”；而生活化语言的侧重点在“非”字上，将“非负整数”理解为“非——负整数”。二是教学负迁移的影响。有理数中有“非负数”概念，“非负数”即“不是负数的数”，进而机械类比得出“非负整数”即“不是负整数的数”，出现错误就不足为奇了。

用集合论来解释，问题就是将“非负整数”作为子集时，它的全集是什么。教师心中约定为“整数集”，故在整数“+5，0，-3”中去掉负整数“-3”；而学生所理解的全集是“题目所给的所有数（即有理数）”，故在所给的数中去掉负整数“-3”。可见，“‘非负整数’的全集是什么”是引起歧义的根源。

三、教师对“非负整数”的争论

不少教师纠结于“非负整数”概念“要不要补充”“如何向学生解释清楚”“规范的试卷会不会出现”等问题。笔者在某影响力较大的QQ教研群抛出了这样的话题：请问对“非负整数”如何理解？立即引起了众多数学教师、教研人员的关注和讨论。主要观点如下：

一种观点认为，“非负整数”只在教辅中出现，教材上没有这个概念，甚至连“非负”都未提及。一是该名称容易引起歧义。“非负整数”表示不是负整数？非负的整数？不是负整数的整数？“非负——整数”还是“非——负整数”？是不是靠语气停顿来区分？如此有争议的问题尽可能回避。二是学生认知未到火候。正如对江苏2017年高考应用题中“没入水中”的理解，命题者意图为“浸入水中”，但不少考生则理解为“没有进入水中”。三是数学概念一般不用否定性语言来定义。

另一种观点认为，“非负整数”没有歧义。一些版本教材有“非负数”与“非零数”的说法，如湘教版七年级上册第3页在第一章“有理数”的“相反意义的量”中，引入了“正数和负数”之后有这样一段文字：“我们也把正数和0统称为非负数”，说明引入“非负整数”也无不妥，学生能够接受。诚然学生水平有差异，教育水准也存有区域差异，要根据区域实际辩证地看待各版本教材，以“对”与“错”来评判会走向极端。

还有一种观点认为，“非负整数”属于约定俗成，如左宗明教授认为“这是一个约定，指正整数与0”。作为教育任务的数学，从学术上说有一种局限性。教学中要淡化形式、淡化概念，许多概念有时不必严格定义或不做定义。

由此可见：教师对“非负整数”名词的认识并不统一，存在一定的争议。

四、“非负整数”概念考证

目前，各种版本中小学数学教材及中考数学试卷均未涉及“非负整数”概念。谈到“非负整数”必然要联系“自然数”。

事实上，从教学大纲、课程标准再到数学教材，“自然数”概念内涵发生了变化。1998年版《中华万有文库教育卷·中学代数词典》对“整数”的一种分类方式为：

这说明自然数就是正整数，而不包括0。2002年版《数学辞海》中的定义是“非负整数（nonnegative integer）即‘自然数’”，“自然数（natural number）亦称非负整数。”具体解释是：“数系中最基本的一种数。即0，1，2，3…表示的数，它是从数数过程中产生的。”“自然数集（set of natural numbers）一种特定的集合，指全体自然数的集合。”“在数学理论的发展中自然数集的定义并不包括0。”这种定义与“自然数”的产生有关。在远古时代，人类在狩猎、捕鱼、采集果实时是用藤条打结计数。比如捕获1个猎物就打1个结，捕获2个猎物就打2个结……这样逐渐形成的数就是原始的“自然数”。显然，自然数由若干个“1”组成。在他们看来，如果没有收获就“不打结”，也就“没有数”，因此自然数就不包括“0”。用群里网友的话说：《数学辞海》的定义说明“名可名，非常名”，“非负整数”定义有一定的依据，但并非常用的名称。

1986年版《全日制小学数学教学大纲》明确要求“理解自然数和整数的意义”。1983年第一版、1987年再版的人教版小学数学教材第八册对“自然数”定义如下：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，6……叫做自然数”，并补充：“一个物体也没有，就用0表示。0不是自然数。自然数和0都是整数。”教材还明确：“在讲‘数的整除’时，我们所说的数，一般只指自然数，不包括0。”这里，“非负整数”与“自然数”有本质的区别。

“1993年开始的新国家标准定义自然数集N含0。这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便与之早日相衔接；另一方面，0还是十进位数字{0，1，2，…，}9中最小的数，有了0，减法运算a-a仍属于N，其中a∈N”。

2001年制定的《义务教育数学课程标准》（实验稿）在第二学段（4～6年级）具体目标中只有“知道整数、奇数、偶数、质数、合数”，没有自然数的概念。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》除了上述要求外，明确要求“了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数”。现行数学教材均将“0”看作自然数。2018年人教版小学数学四年级上册教材明确规定：“表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然数，一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。最小的自然数是0。”这样，0和正整数统称“自然数”，“非负整数”与“自然数”指向相同。

然而，无论是“教学大纲”、课程标准，还是中小学数学教材均没有“非负整数”的概念。如苏科版教材七年级上册第2章“有理数”的正文和教材练习的“将数填入相应集合”的问题，供填写的集合只有“正数集合”“负数集合”“有理数集合”“无理数集合”等，没有出现“非……”的文字表述。至于湘教版教材七年级上册引入“非负数”这一概念，其教学参考书第5页明确说明这“是为今后学习如何去掉|a|中的绝对值做准备”，并非要求在“非负数”的概念上做文章。

由此可见，课程标准的制定和数学教材的编写遵循了数学发展规律和学生认知规律而导致学生对“非负整数”的“模糊认识”，则完全是人为改变教学内容、拔高教学要求所致。

五、几点思考

思考对“非负整数”的争议问题，本质上是数学学术、教师素养与数学教育之间关系的问题。一些问题教师可以争鸣，但教学要适度。数学教师必须具有一定的研究能力，提升自身专业素养，这是做好数学教学工作的前提；而数学教学要理解教材编写意图、把握学生认知基础与结构，将学术的数学转化为教育的数学；数学教学不能只关注知识，更要增强学生的数学情感，让学生感悟数学的理性精神。

1.学术的数学：要研究争鸣，追本溯源。

从学术的角度来看，教师要潜心研究、相互探讨甚至争鸣。数学就是伴随着争论、争议而发展的。如“无理数”之所以称为“无理数”，是因为希帕索斯发现了这样的数不能表示为两个整数的比，挑战了数学家们“任意两个量都可以公度”的理论，认为这是“毫无道理”的数，达·芬奇称之为“无理的数”。但事实上像这样的数是看得见、摸得着的数，最终得到了人们的承认，从而使数学度过了第一次危机，并让数学有了新的发展。就“自然数”而言，传统教学大纲和教材指正整数。因此，为了便于表示“正整数和0”集合而给出“非负整数”概念在情理之中。但当将0纳入了自然数后，数的概念得到了发展，“非负整数”概念的存在价值就不大了。

作为数学教师，有必要了解数学概念的内涵及其发展，研究概念形成与变化的原因及其背后的数学文化。有时可通过争论、争辩和研讨，弄清事物的本来面貌，直达问题的源头和本质，真正体现研究与求真的学术精神，提升自己的专业素养，让自己的数学理解更加深刻，只有这样教学才能高屋建瓴、居高临下。

2.教育的数学：要尊重教材，基于认知。

教学要将学术的数学转化为教育的数学，要尊重教材，基于学生认知，在存在争议的问题处理上要慎重。

一方面，数学教学要理解教材、尊重教材。我们提倡“用教材教而不是教教材”，教学不拘泥于教材，但前提是守住教学底线，不突破教学的边界。另一方面，数学教学要遵循学生的认知规律，把握学生的认知能力，而不是灌输机械的知识、晦涩难懂的概念甚至是已经被取代的内容，更不能人为拔高教学要求、设置理解的障碍。

以“非负整数”为例。重新定义“自然数”之后，“非负整数”就是“自然数”，这也是教材为什么不出现“非负整数”概念的原因所在。因此教学中不宜随意补充，在数学命题中尽可能回避。还有些数学概念在不同阶段有不同的表述与定义方式。如函数概念在初中阶段是基于运动变化的描述性定义，侧重变化与变量，旨在以形象、直观的方式让初中学生理解；而高中阶段则是基于映射与对应的定义，侧重对应和符号化，更加抽象、严谨，这适应了高中学生更为抽象的思维能力。教学中要根据学生认知，把握好教学要求，选择适合的教学方法，让学生认知从“不严格”到“严格”，从“认识”到“理解”，进而达到深度理解。

3.文化的数学：要激发情感，体现价值。

现实中，许多学生学习了十几年的数学，刷题之后，剩下的只有对数学的厌倦。他们感觉到数学只是枯燥的定义、法则、公式、定理的堆砌。事实上，数学的价值不只是知识，还有文化和精神，漫长的数学发展史及这个过程中的思想方法和精神就是数学的文化。数学教学应该引导学生了解数学知识背后的文化。

特级教师孙维刚在听“有理数”一节课时，有学生问：“‘有理’是有道理的意思，我不明白，整数和分数这两种数有什么道理呢？”老师回答：“这是数学上的规定，没有为什么。”如此，学生对数学除了机械记忆还有何兴趣可言？孙维刚说：“科学上的任何规定都有‘为什么’，数学尤其如此，一个数学符号为什么这么写都有它的理由。世界上没有‘没有为什么’的事。”“将整数和分数统称为有理数”是翻译上的一个差错。日本人将“rational number”错译为“有理数”，我们又进行了简单移植。“rational number”本意是指“可以表示为两个整数比的数”。分数是整数之比，如是4∶7，整数3是3∶1，所以整数和分数总称为“rational mumber”（有理数）。

如“数”的教学，可引导学生了解各种数如何产生，为何这样定义，背后有何故事，有些数的概念为何变化，有理数为何称为“有理数”，“无理数”真的“没有道理”吗，不同的数系之间有何关系，数的发展对数学的发展有何影响等。通过数学文化的熏陶，学生数学的情感必然会得到激发，对数学探究的兴趣自然会增强，对数学规律的认识、对数学本质的感悟能力也会大大增强，只有这样，才能真正体现数学在教育中应有的价值。