带五次项的非线性Schrödinger方程的守恒差分格式

李 华,李德生

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院,辽宁 沈阳 110034)

0 引言

非线性Schrödinger方程(NLS)是非线性光学、等离子物理等领域的重要数学物理模型.对该方程的数值研究已经取得了丰富的成果[1-5]，如有限差分法、有限体积法、有限元法、离散变分导数法等.其中离散变分导数法具有保结构等优点而日益受到人们的关注.文献[6]用离散变分导数的方法对NLS方程提出了一个守恒差分格式，基于此，笔者应用[6]的思想，对带五次项的非线性Schrödinger方程[7]

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈(0,L),

(2)

u(x,t)=u(x+L,t),t∈(0,T),

(3)

构建其保结构的差分格式.其中α<0，β<0，i2=-1,u(x,t)为复值函数，u0(x)为已知的复值函数.该问题的电荷和能量满足下列关系:

(4)

(5)

其中Q(t),E(t)分别称为某时刻的电荷和能量，Q(0),E(0)分别称为初始时刻的电荷和能量，(4)称为电荷守恒，(5)称为能量守恒.

1 相关符号的定义

本文中使用的记号如下：

xk=kΔx,tm=mΔt,k=0,1,…,N,m=0,1,…,M.

空间位移算子为

s+k=fk+1,s-k=fk-1,

空间平均算子为

时间方向相关算子可以类似定义.本文应用的内积与范数定义为

为简单起见，当p=2时，我们省略下标，并定义umk和Umk分别为u(x,t)在(kΔx,mΔt)处的精确解和数值解.定义C为正常数，在不同的地方可以表示不同的值.

求和公式应用梯形法则:

2 差分格式的建立

将方程(1)改写为

(6)

由此，可以定义局部能量函数G,整体能量函数J:

(7)

(8)

故定义离散局部能量

(9)

其中下标d表示离散，k表示空间方向.

下面求离散变分导数，运用直接因式分解法，有

其中(c.c)表示前一项的复共轭，Bc(Um+1k,Umk)表示边界条件，且有

(10)

因此，可得离散变分导数

(11)

综上，可得最终格式为

(12)

3 差分格式所继承的守恒性质

正如在引言中提到的，该方程具有电荷守恒和能量守恒的性质，即

电荷守恒证明如下：

(13)

其中边界项由于周期边界条件消去了.

能量守恒证明如下：

(14)

其中边界项亦由于周期边界条件消去了.

离散情况下，给定的差分格式也具有守恒性质.

定理1 在离散的周期边界条件下，差分格式的解Umk满足

(15)

证明

最后一个等号是把离散变分导数的具体形式代入并用逐段求和公式

即可得出结论.

类似地，可以证明

(16)

4 解的存在唯一性以及解的估计

定理2 该差分格式存在唯一解.

显然，g是连续的.还可以得到

其中最后两项为纯虚数，第3项根据逐段求和公式，我们有

因此这一项也是纯虚数.因此，我们可得

下面证明唯一性.

假设该格式存在2个解V和W,为了证明唯一性，则只需证V=W.

由Vk的表达式，易求得

应用逐段求和公式，有

根据实部和虚部，有

综上，解的存在唯一性得证.

(17)

5 解的收敛性

这里定义截断误差为Fmk，

(18)

(19)

(20)

接下来证明格式的收敛性，定义数值解的误差为

emk=umk-Umk.

(21)

定理4 当u∈C2([0,T],C3]时，存在常数c,只要1-cΔt>0，就有

(22)

当u∈C2([0,T],C5]时，存在常数c′,只要1-c′Δt>0，就有

(23)

证明用(18)式减去(12)式，可以得到

(24)

左端变成了

(25)

右端第1项为0.

(24)式右端第2项可以改写为

(26)

右端第4项

综上，有

当Δt满足1-cΔt>0时，

再由引理3和引理4，该格式的收敛性得证.

6 结论

笔者应用离散变分导数法，构建了带五次项的非线性薛定谔方程的一个保结构的差分格式，证明了该格式解的存在唯一性，稳定性，以及该格式在一定条件下的收敛性.