表贴式永磁同步电机空载磁场的解析计算

吴 鑫，周扬忠,庄恒泉，陈 垚

(福州大学 福建省新能源发电与电能变换重点实验室，福州 350108)

0 引 言

永磁同步电机利用永磁体代替励磁绕组，不仅减小了线圈铜耗，还减小了电机的体积和质量，使得电机的功率密度和转矩密度大为提升，并且永磁同步电机结构简单，运行可靠性高，维护成本低，已经广泛应用于人类生产生活[1-3]。对于不同的应用场合，需要对永磁同步电机的磁场和诸如空载磁链、反电动势、齿槽转矩、电磁转矩以及电感等电磁性能进行准确的计算，从而设计出满足性能需求的电机，因此研究永磁同步电机的设计具有重要的实际意义。

目前，永磁同步电机的设计方法主要是有限元法和解析法。有限元法[4-5]是借助有限元仿真软件对电机磁场等参数进行计算。尽管有限元法有较高的精度，但是其计算复杂，需要花费大量的时间成本，并且不能直观地显示出电机性能与尺寸参数的关系，因此对于需要大量重复设计的电机初期设计环节以及电机的性能优化设计环节，有限元法具有较大的局限性。

为了克服有限元法的不足，学者提出了多种解析法，包括等效磁路法[6-7]、子域模型法[8-9]以及相对磁导函数法[10-16]。文献[6-7]采用等效磁路法对永磁同步电机的磁场进行分析，解析计算结果与有限元仿真结果相近。虽然等效磁路法可考虑铁心的饱和效应，但是其存在迭代计算复杂以及精度不高等问题。文献[8-9]采用子域模型法分别对整数槽绕组和分数槽绕组的表贴式永磁同步电机(以下简称SMPMSM)的磁场分布进行解析计算。子域模型法具有最高的精度，但是其通用性差，对于不同的电机需要建立不同的子域模型。文献[10]采用保角变换法推导了一种相对磁导函数，与无槽电机的气隙磁密相乘，可得到开槽下电机的气隙磁密分布。该相对磁导函数有明确的解析表达式，通用性强，但其没有考虑切向磁导对气隙磁密的影响，因此仅能计算气隙磁密的径向分量。文献[11]利用复变量的保角变换法提出了一种相对复磁导函数，其能计及定子开槽对气隙磁场切向分量的影响，因此该相对复磁导函数可准确地计算出表贴式永磁电机气隙磁密的径向和切向分量。基于该相对复磁导函数，文献[12-13]根据麦克斯韦应力张量法分别对表贴式永磁电机的齿槽转矩和电磁转矩进行预测。此外，文献[14-16]均是采用保角变换法求取相对复磁导函数。与相对磁导函数对比，相对复磁导函数具有更高的计算精度，但是其存在求解过程复杂、迭代计算时间长的问题。

相对其他解析法，相对磁导函数法通用性高，模型简单，十分适合于电机的快速设计。但是在作者所了解的文献中，相对磁导函数法都是采用无限深的单槽模型，没有考虑槽与槽之间的影响和槽深度的影响，并且相对复磁导函数大多是通过保角变换得到，求解过程复杂。据此，本文提出了一种基于子域模型法的相对复磁导函数，对SMPMSM的空载磁场进行计算。相比于保角变换获得的相对复磁导函数，本文提出的相对复磁导函数考虑了槽与槽之间以及槽深度的影响，并且不需要进行迭代计算，求解过程简单，具有较高的计算速度和准确度，因此适用于SMPMSM的设计以及性能优化等应用场合，此外还可用于对电机的电磁性能进行计算，例如空载磁链和反电动势等，以建立电机的数学模型以及相应的控制策略。

1 电机拓扑结构

本文以4极内转子SMPMSM为研究对象，来验证所提出的相对复磁导函数的准确性。SMPMSM的横截面如图1所示。电机有两对永磁体，沿着径向方向交替充磁；电机为定子单边开槽的气隙结构，共有12个定子槽。

图1 SMPMSM横截面图

图1中:θ0为转子位置角；Rr为转子外表面半径；Rm为永磁体外表面半径；Rs为定子内表面半径；Rsi为定子槽底半径；Rso为定子外表面半径；βs为定子槽开口宽度；αp为极弧系数；p为SMPMSM的极对数。

对于SMPMSM，其气隙磁密可通过将无槽电机的磁密与相对复磁导函数相结合得到。根据文献[12]可得定子开槽下SMPMSM的气隙磁密径向以及切向分量的表达式：

Br_slotted=Br_slotlessλr+Bθ_slotlessλθ

(1)

Bθ_slotted=Bθ_slotlessλr-Br_slotlessλθ

(2)

式中：Br_slotted和Bθ_slotless分别表示无槽电机气隙磁密的径向和切向分量；λr和λθ分别表示相对复磁导函数的实部和虚部分量。

对于永磁体径向磁化的SMPMSM，定子无槽下的电机气隙磁密的径向和切向分量的解析表达式由文献[17]直接给出：

(3)

(4)

式中：Brem为永磁体剩磁；μr为永磁体相对磁导率。

结合电机的尺寸参数，可得θ0=0时无槽下SMPMSM气隙磁密的径向和切向分量，如图2所示。

(a) 径向分量

(b) 切向分量

2 相对复磁导函数

一般地，对于相对复磁导函数的求取采用的是保角变换的方法，求解过程需要进行迭代计算，并且均是采用槽无限深的单槽模型，因此无法计及槽与槽之间以及槽深度的影响。本文提出了一种基于子域模型法的相对复磁导函数，用于计算定子的开槽效应。

所提出的解析模型是在二维极坐标系(r,θ)下进行计算的。为了便于分析，对电机做出以下假设：

1) 定转子铁心的磁导率为无穷大，忽略饱和效应；

2) 电机的轴向长度为无限长，不计端部效应；

3) 电机各个边界均是沿着切向或者径向方向。

定子单边开槽的气隙结构横截面示意图如图3所示。

图3 定子开槽的气隙结构

图3中，Rr1为对永磁体进行等效处理后的转子铁心外表面半径。

(5)

根据子域模型法，将其划分成2个子域，分别为气隙子域和定子槽子域，如图4所示。子域1代表

图4 子域划分以及定子槽空间位置定义

气隙子域，子域2i代表第i个定子槽子域。在解析计算过程中，需要确定每一个槽的空间位置，因此在二维极坐标系中对所有槽的位置进行定义，则每个定子槽的中心所处的空间位置：

(6)

式中：θi为第i个定子槽中心线位置；Ns为定子槽数。

由于在计算定子开槽效应时，不考虑永磁体以及电流密度分布，因此根据电磁场理论[18]，电机的磁场可用标量磁位ψ进行表示：

2ψ=0

(7)

根据式(7)，本文以标量磁位作为求解变量对2个子域求解拉普拉斯方程，它们满足的拉普拉斯方程分别如下：

(8)

(9)

式中：ψ1为气隙子域的标量磁位；ψ2i为定子槽子域的标量磁位。

为了计算定子的开槽效应，本文将转子铁心与气隙交界面的标量磁位设为1，定子铁心与气隙交界面的标量磁位设为0，因此可得到各个子域与铁心间的边界条件：

ψ1(Rr,θ)=1θ∈[0,2π]

(10)

(11)

(12)

根据上述的边界条件，采用分离变量法可得到各个子域标量磁位的通解表达式：

(13)

式中：A0，A1s和A2s为气隙子域的待定系数；s为气隙子域中磁场的谐波次数。

(14)

式中：Bit为定子槽子域的待定系数；t为定子槽子域中磁场的谐波次数。

根据各个子域间交界面上的连续条件，即在相邻子域间的交界面上满足标量磁位连续以及径向磁密相等，建立起子域间的联系，从而求取式(13)和式(14)中的待定系数。

对于气隙子域与定子槽子域交界面，其满足的连续条件可表示：

(15)

(16)

根据式(15)，可得：

(17)

(18)

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

根据式(16)，可得：

(23)

综上所述，将式(17)～式(19)、式(23)转化成矩阵的形式，通过数值分析软件进行求解，即可确定各个子域中的待定系数，从而可得到各个子域标量磁位的分布。此外，标量磁位与磁场强度的关系可表示：

(24)

(25)

式中：Hr为磁场强度径向分量；Hθ为磁场强度的切向分量。

由前面的分析可知，对于定子单边开槽的气隙结构，其磁场并不是由永磁体励磁或者电枢反应产生的，而是由定转子铁心间标量磁位的差值得到，可见其磁场的分布反映了定子的开槽效应，因此定子开槽对气隙磁场的影响可由气隙子域的磁场分布得到。此外，本文提出的相对复磁导函数是采用子域模型法对整个定子开槽的气隙结构进行求解得到的，不仅计及了槽与槽之间的影响，还将槽深的影响考虑在内。根据式(13)、式(24)以及式(25)，可得气隙子域的磁场分布：

[A1scos(sθ)+A2ssin(sθ)]

(26)

(27)

对于相对复磁导函数，它的实部分量λr表示定子开槽对气隙磁场径向分量的影响，虚部分量λθ表示定子开槽对气隙磁场切向分量的影响，因此λr和λθ分别与气隙子域磁场的径向和切向分量H1r和H1θ相对应。并且根据电机的拓扑结构可知，当位于定子齿中心处时，如θ=0处，相对复磁导函数的实部分量λr应等于1。因此对H1r和H1θ进行归一化处理，并且考虑相对复磁导函数与气隙子域磁场的极性，可得到定子开槽下的气隙相对复磁导函数实部和虚部的解析表达式：

(28)

(29)

式中：H1r|θ=0为定子齿中心处气隙子域磁场强度。

3 解析结果以及有限元验证

为了验证本文所推出的相对复磁导函数的准确性，对SMPMSM进行有限元仿真验证。本文所研究的4极SMPMSM的主要参数如表1所示。采用所提出的相对复磁导函数对电机的气隙相对磁导以及气隙磁密进行解析计算，并且将计算得到的结果与有限元仿真得到的结果进行比较。

表1 SMPMSM主要参数

3.1 气隙相对磁导

根据式(28)和式(29)，对气隙中心圆周处的相对复磁导函数的实部和虚部分量进行解析计算，计算得到的结果与有限元仿真结果进行比较，如图5所示。由比较结果可知，两者吻合很好，验证了本文基于子域模型法的相对复磁导函数的准确性。

(a) 实部分量

(b) 虚部分量

3.2 气隙磁密

根据式(1)和式(2)，将气隙中心圆周处的气隙磁密的径向和切向分量的解析计算结果与有限元仿真结果进行对比，如图6所示。从比较结果可以看出，解析计算结果与有限元贴合很好。因此，基于子域模型法的相对复磁导函数适合于SMPMSM气隙磁密的解析计算，具有较高的精度。

(a) 径向分量

(b) 切向分量

此外，基于子域模型法的相对复磁导函数可对槽深的影响进行考虑，因此分别对槽深为1mm和11mm的电机气隙磁密进行解析计算，并和有限元仿真结果相比较，如图7所示。由图7可知，本文的解析法可将槽深的影响考虑在内，而一般的相对复磁导函数无法计及槽深对气隙磁密的影响。

(a) 径向分量

(b) 切向分量

4 结 语

本文提出了一种相对复磁导函数，用于计算定子开槽对磁场的影响。基于子域模型法理论，对定子开槽的气隙结构的磁场进行解析计算，通过归一化处理得到相对复磁导函数。该相对复磁导函数不仅考虑了槽与槽之间的影响，还计及了槽深度的影响。基于所推导的解析法，对4极SMPMSM的气隙相对磁导和空载气隙磁密进行解析计算并且与有限元结果进行比较，验证了所提出的相对复磁导函数的准确性。解析法与有限元法相比具有较高的计算精度以及较快的计算速度，因此它十分适合于尺寸参数需要大量调整的电机初期设计环节以及性能优化环节，能够节省大量的时间成本。此外，它可以代替传统的实验测量法，方便快捷地获取电机的相关参数并用于电机的控制策略中，以降低参数的测量成本。