提高解决数列问题能力的几个对策

■福建省龙岩市永定区城关中学 (特级教师)

一、重视基本量解题意识，厘清知识网络，切实掌握数列的概念与性质

在高考试题中,选择题和填空题主要考查等差数列、等比数列的性质,解答题主要考查等差数列、等比数列的通项与前n项和公式及简单的递推关系(主要是Sn与an的关系),一般是中档题,注重通性通法。而等差、等比数列常涉及a1,an,n,d(q),Sn五个量和两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),所以加强用基本量法解题是一种常用且行之有效的方法。

例1(2019年福建省高三毕业班质量检测卷文科第3题)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,则a33=( )。

A.82 B.97 C.100 D.115

解法1：设等差数列{an}的公差为d。

所以a33=a1+32d=100,选C。

解法2：设等差数列{an}的公差为d。

因为a8-a5=3d,S8-S5=3a7,依题意解得d=3,a7=22。

所以a33=a7+26d=22+26×3=100,选C。

点评：先根据等差数列的定义,再利用已知条件列出首项和公差满足的方程组并求解,即可解决问题;或者根据等差数列的性质,分别求出公差和a7,即可迅速求解。

二、重视公式的应用

数列的运算,高考中常见的是用有关公式和性质求解一些基本量的问题,an与Sn的关系也是高考考查的热点。

例2已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=2,S5=15。数列{bn}的前n项和Tn满足Tn=(n+5)an。

(1)求an;

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意知。

解得a1=d=1。因此,an=n。

(2)由(1)得an=n,所以Tn=n(n+5)。

当n≥2 时,Tn-Tn-1=n(n+5)-(n-1)(n+4)=2n+4;

当n=1时,b1=T1=6也满足上式。

所以bn=2n+4(n∈N*)。

当n=1时,P1=,也满足上式。

综上可得Pn=。

例3已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求{an}的通项公式。

解析：因为an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2(n≥3)。

两式相减得an-an-1=(n-1)an-1,即=n(n≥3)。

因为a2=a1=1,所以an=n=。

又因为a1=1不适合上式,a2=1适合上式,所以an=。

三、合理选择运算途径

从多年高考对数列考查的趋势看,两类特殊数列基本量的计算、两类特殊数列的定义与通项an的求法及数列求和方法等是考查的重点。同学们解题时只有合理选择运算方法才能简化运算过程(如,经常要把作为整体代换)。

例4(2019年福建省高三毕业班质量检查测卷文科第12 题)数列{an}中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),则数列的前2 019项和为( )。

解析：由题意得=n+2(anan-1),即。

两边配方整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n。

由累加法可得(an-1)2-(a1-1)2=2+3+…+n(n≥2)。因为(a1-1)2=1,所以(an-1)2=(n≥2)。

又a1=2 也满足上式,所以(an-1)2=(n∈N*)。

点评：只要通过去分母、配方将条件中的递推关系转化为(an-1)2与(an-1-1)2间的关系,用“累加法”求出(an-1)2的表达式,再利用“裂项相消法”即可求解。

四、强化合情推理的训练

数列是按一定次序排列的一列数,这决定了数列解题中离不开规律性和技巧性的探究,故灵活应用合情推理方法解决数列问题就显得尤为重要。

例5无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和。若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为______。

解析：当n=1时,a1=2或a1=3。当n≥2时,若Sn=2,则Sn-1=2,于是an=0;若Sn=3,则Sn-1=3,于是an=0。从而存在k∈N*,当n≥k时,ak=0。其中数列{an}：2,1,-1,0,0,0,…,满足条件,所以kmax=4。

点评：本题主要考查同学们的逻辑推理能力。从研究Sn与an的关系入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意对“数列{an}由k个不同的数组成”和“k的最大值”的理解。

例6若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p＞0,q＞0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数适当排序后可成等差数列,适当排序后也可成等比数列,则p+q的值等于_____。

解析：由韦达定理得a+b=p,a·b=q,则a＞0,b＞0。当a,b,-2适当排序后成等比数列时,-2必为等比中项,故a·b=q=4,b=。当适当排序后成等差数列时,-2必不是等差中项,当a是等差中项时,2a=-2,解得a=1,b=4;当是等差中项时,=a-2,解得a=4,b=1。

综上所述,a+b=p=5,p+q=9。

点评：本题以零点为载体考查等比中项和等差中项等基础知识,考查分类讨论思想,也考查了逻辑推理能力。

五、关注数列的简单应用

新定义题型是高考试题永不过时的创新题型,也是传承高考试题革新的重要途径和手段。在近几年高考中以数列知识为背景渗透数学优秀传统文化的题型经常出现,这类题以新课标教材内容为背景,给出某种新概念、新公式或新符号等,要求同学们在理解相关新概念、新公式或新符号之后,运用所学知识,结合已掌握的技能,通过推理、运算等寻求问题解决。

例7艾萨克·牛顿(1643 年1 月4日—1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有很多杰出的贡献。牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{xn},满足xn+1=,把该数列称为牛顿数列。如果函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有两个零点1,2,数列{xn}为牛顿数列,设an=,已知a1=2,xn＞2,则数列{an}的通项公式an=______

解析：因为函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有两个零点1,2,所以：

又因为an=,且a1=2,所以an+1=2an,即数列{an}为等比数列,且{an}的通项公式an=2n。

点评：本题的难点在于得到xn+1=后如何继续下去。需要对问题有整体性的理解与把握,与后面的an=建立联系,即可想到要计算xn+1-2和xn+1-1的值,体现了综合法与分析法的结合。