放缩法在数列不等式中的应用

■浙江省杭州市塘栖中学

在数列与不等式综合性问题中数列不等式的证明最为常见,这类问题既考查了数列知识,又考查了不等式的证明方法,集知识与能力于一题,这类问题一般与数列求和有关,具有一定的灵活性,难度较大。放缩法是破解这类问题最常用的方法之一,下面举例说明。

一、先求和后放缩

例1正项数列{an}的前n项和Sn满足：-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明：对于任意的n∈N*,都有Tn＜。

解析：(1)由-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0。

由于{an}是正项数列,所以Sn＞0,Sn=n2+n。

当n=1时,a1=S1=2。

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n。

综上,数列{an}的通项公式为an=2n。

(2)由(1)知an=2n,故：

说明：本题中的数列{bn}的前n项和为Tn,结合式中结构,可用裂项相消法求和。当数列的前n项和可以求得时,一般先求和后放缩证明数列不等式,即求和后恰当放缩成欲证的不等式,这种放缩法在高考中最为常见。

二、先放缩再求和

例2已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且+an=2aSn。

证明：(1)在条件中,令n=1,得+a1=2S1=2a1。又a1＞0,故a1=1。

上述两式相减整理得：

(an+1+an)(an+1-an-1)=0。

因an＞0,an+1+an＞0,故an+1-an=1。

所以,an=1+1×(n-1)=n,Sn=。

因此,Sn=。

(2)因为n＜＜n+1,所以。

综上,于是原不等式获证。

说明：本题巧妙地利用了进行放缩,从而使原问题轻松获解。

例3已知an=2n-1(n∈N*),求证：。

说明：根据证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。