三类求椭圆与双曲线离心率的题型

■甘肃省白银市第一中学

离心率可以刻画椭圆的扁平程度,也能刻画双曲线的开口大小,在圆锥曲线的学习中有很重要的作用。那么如何求解离心率呢? 我们从命题角度入手归纳出三类常考题型。

类型一 应用图形几何性质求离心率

例1椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点是F1、F2,若以两个焦点为顶点作正三角形,椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为______。

解析：(方法一)如图1,因为△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,所以F1N⊥F2N。

因为|NF2|=|OF2|=c,所以|NF1|=。

由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,故+c=2a,e=。

(方法二)注意到焦点△NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°。

则由离心率的三角形式,可得：

反思：利用数形结合思想,挖掘几何特征,可借助于a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入求解。

例2双曲线=1(a＞0,b＞0)的右焦点是F2,若过点F2且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率的范围是______。

解析：由题意知。

则e=≥2。

故离心率e的取值范围是[2,+∞)。

反思：(1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助进行互求。一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程求离心率的值,都会有两解(有焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论。

(2)当直线与双曲线有一个公共点时,利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系,得到的范围,再利用e=得到离心率的取值范围。

例3如图2,双曲线=1(a＞0,b＞0)的左右焦点分别是F1、F2,A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率是______。

解析：连接AF1,在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解。

(方法一)如图3,连接AF1,由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°。

易知△AF1F2为直角三角形,则|AF1|==c,|AF2|=。

(方法二)如图3,连接AF1,易得∠F1AF2=90°,β=∠F1F2A=30°,α=∠F2F1A=60°。

于是离心率e=。

反思：涉及焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求的值。

类型二 构建齐次方程或者不等式求解

例4已知椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点是F1、F2,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为_______。

解析：由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,a≤。

因为e=,0＜e＜1,所以≤e＜1。

反思：若椭圆中a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围。

例5已知双曲线=1(a＞0,b＞0),若矩形ABCD的四个顶点在双曲线上,AB,CD的中点为双曲线的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,双曲线的离心率的是______。

解析：如图4,由题意知|AB|=,|BC|=2c。

又2|AB|=3|BC|,故2×=3×2c,即2b2=3ac,2(c2-a2)=3ac。

两边同除以a2并整理得：

2e2-3e-2=0,解得e=2。

反思：求圆锥曲线的离心率,就是求a和c的值或a和c的关系,然后根据离心率的定义求解。但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能将条件整理成关于a和c的关系式,进而求得的值,其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2(或a2=c2+b2),化简为参数a,c的关系式进行求解。

类型三 利用圆锥曲线的取值范围求离心率的范围

例6已知椭圆=1(a＞b＞0),F1,F2为其左右焦点,P为椭圆上一点,且=c2,则椭圆的离心率的范围是_______。

解析：设P(x,y),则=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2。

将y2=,代入上式,整理得：

又x2∈[0,a2],所以2c2≤a2≤3c2,即。

反思：一是通过设点的坐标,利用圆锥曲线上点的坐标的范围,转化为离心率的取值范围。二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围。

(1)椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c]。(2)双曲线的焦半径：①点P与焦点F同侧时,其取值范围为[c-a,+∞);②点P与焦点F异侧时,其取值范围为[c+a,+∞)。