全国名校高二数学选修2-3综合测试（B卷）参考答案

一、选择题

1.C

2.B

3.A

4.A 提示：设事件A在每次试验中发生的概率为p,则ξ～B(3,p)。据题意得：1-(1-p)3=,则p=,ξ～,E(ξ)=np=,D(ξ)=np(1-p)=3×。

5.C 提示：值为2 019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10=60。

6.B 提示：展开式中项的系数为。因为系数为有理数,所以n-r是2的倍数且r是3的倍数,只有n=7,r=3符合题意。

7.C 提示：如图1,根据题意,假设五个区域分别为1、2、3、4、5,分两步进行分析：

则一共有60×7=420(种)涂色方案。

8.C 提示：据题可得Δ=-4X≥0,解得X≤5。则P(X≤5)=1-P(X=6)=1-。

9.D

10.C 提示：分4种情况讨论：

①若甲、乙抢的是一个6 元和一个8 元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有=12(种)情况;

②若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有=12(种)情况;

③若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有=6(种)情况;

④若甲、乙抢的是2个6元红包,剩下2个红包,被剩下的3 人中的2 个人抢走,有=6(种)情况。

根据分类计数原理可得,共有36种不同的情况。

11.A 提示：运动员射击一次击中环数的期望 10a+9b=9,,当且仅当a=9b时取等号,与10a+9b=9 联立可得a=,故c=1-a-b=。

12.D 提示：设蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn,那么它前一步只有两种情况：

A：如果本来就在上底面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率是;

B：如果是上一步在下底面,则第n-1次不在上底面的概率是1-Pn-1,如果爬上来,其概率应是。

A,B事件互斥,因此,Pn=+。整理得。

因此第10次仍然在上底面的概率P10=。

二、填空题

13.5或407

14.195

15.2 提示：=-56⇒a=2。

16.348 提示：(1)若6 人乘坐3 辆缆车,则将4 个大人分成2,1,1 三组有=6(种)方法,然后将三组排到3辆缆车有=6(种)方法,再将2 个小孩排到3 辆缆车有3×3-1=8(种)方法,所以共有6×6×8=288(种)方法。

(2)若6人乘坐2辆缆车：

综上,共有288+36+24=348(种)方法。

三、解答题

17.(1)能被25整除的数有两类：后两位是50 时,共有=120(个);后两位是25时,有4×=96(个)。

故能被25 整除的数有120+96=216(个)。

(2)0,1,2,3,4,5,6 构成无重复数字的七位数有个。

x、y、z分别表示个位、十位、百位上的数字,满足x＜y＜z的数共有=720(个)。

18.(1)=3.9,σ≈0.31。故1、6号为无效动物,2、3、4、5号为有效动物。

设“从6只动物中选取2 只均为有效动物”为事件A。

则P(A)=。

误差e1=0.07,e2=0.22,均比标准差s≈0.31小,故(2)中回归方程可靠。

19.(1)(1+mx)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(m∈R)。

两边同时求导得,2 020m(1+mx)2019=a1+2a2x+…+2 020a2020x2019。

当m=2时,取x=1,得,a1+2a2+…+2 020a2020=4 040×32019。

(2)当m=-1 时,(1-x)2020=-。

20.(1)该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为：

55×0.1+65×0.2+75×0.4+85×0.2+95×0.1=75(min)。

而调查总时长为150(min),故p==。

(2)①根据题意,X～。

故E(X)=np=10 000×=5 000;

D(X)=np(1-p)=10 000×=2 500。

②Z=-100。

当4 950＜X＜5 100 时,-1＜Z≤2,Z～N(0,1),P(-1＜Z≤2)=P(μ-σ＜Z≤μ+2σ)≈0.954 4-=0.818 5。

故P(4 950＜Z≤5 100)=P(-1＜Z≤2)≈0.818 5。

所以该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150×0.818 5≈123(min)。

21.(1)由题意知：=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5。

(2)依题意z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ==70.5,σ2=D(ξ)=204.75,σ=14.31。

z服从正态分布N(μ,σ2)=N(70.5,14.312)。

而P(μ-σ＜z＜μ+σ)=P(56.19＜z＜84.81)=0.682 6,故P(z≥84.81)==0.158 7。

竞赛成绩超过84.8 的人数估计为0.158 7×4 000=634.8≈634。

(3)全省竞赛考生成绩不超过84.81 的概率为1-0.158 7=0.841 3。

而ξ～B(4,0.841 3),P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-·0.841 34=1-0.501=0.499。

22.(1)由题意得,,解得n=100。

(2)2×2列联表为：

表1

所以有99%的把握认为选择科目与性别有关。

(3)从45 名女生中分层抽样抽9 名女生,则这9名女生中有5人选择物理,4人选择地理。9名女生中再选择4名女生,则这4名女生中选择地理的人数X可为0,1,2,3,4。

设事件X发生概率为P(X),则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=。

X的分布列为：

表2

期望E(X)=。