例谈一次函数由图形不确定引起的分类讨论

洪声华

【摘要】分类讨论的数学思想在数学解题中占有重要的位置，分类讨论的思想方法在一次函数中的运用已成为考试的一大热点。本文主要结合例题，具体阐述在一次函数教学中由图形不确定引起的分类讨论，以提高学生的解题能力，从而提高学生的数学核心素养。

【关键词】分类讨论;思想;一次函数

在初中数学教学中，培养学生的数学核心素养是数学教育的重要任务。其中“數学思想方法”在数学教育领域被广泛应用，它贯穿整个数学教学中，是数学教学的核心思想。通过历年以来数学家、教育家对数学思想方法的研究，把数学思想方法分为几大类：方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想、极限思想、整体思想、抽样统计思想等。

分类讨论思想具有较高的逻辑性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，所以在数学解题中占有重要的位置。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，将数学对象区分为不同种类的思想方法。在解答问题时，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，再加以综合。

引起分类讨论的原因主要有：（1）涉及的数学概念是分类进行的;（2）涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的;（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论;（4）某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等。

在解有些一次函数问题时，需要将问题所涉及的对象依照一定的标准分成若干类，然后逐类加以讨论，最终才能得出正确的解答，这种方法称为分类讨论，它既是一种逻辑方法，也是数学中的一种重要思想方法和解题的策略，这一思想方法在一次函数中的运用已成为考试的一大热点。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是“不重不漏”。用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：（1）讨论的对象及讨论对象的取值范围的确定;（2）正确选择分类的标准，进行合理分类（分类时需要做到四大原则）;（3）逐步讨论解决问题;（4）归纳并作出结论。

下面，结合例题具体阐述一次函数教学中由图形不确定引起的分类讨论。

【例1】点P在直线y-x+1上，且到y轴的距离为1，求点P的坐标。

分析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征。解答该题时，要注意：到y轴的距离为1的点P有两个。由点P的横坐标是x=±1;可以求得点P的坐标是（1，0）或（-1，2）。

【例2】 若一次函数y=kx+1与两坐标轴围成的三角形面积为3，则k的值为多少。

分析：本题考查函数解析式和三角形的结合，有一定的综合性，注意坐标和线段长度的转化。由一次函数与两坐标轴围成的三角形面积=   ×1×    =3，注意分两种情况讨论，解得k=      。

【例3】 已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值的取值范围是-2≤y≤4，求kb的值。

分析：此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论。

①当k>0时，y随x的增大而增大，∴当x=0时，y=-2，当x=2时，y=4，可以求得kb=3×（-2）=-6;

②当k<0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=-2，可以求得kb=-3×4=-12。

所以kb的值为-6或-12。

【例4】 已知直线l和直线l'：y=-4x+20交于点P，l与x轴交于点A（8，0），且△PAO的面积为16，求直线的函数解析式。

分析：此题考查两直线相交问题，根据直线与轴交于点A（8，0），由△PAO的面积为16得出P的纵坐标的绝对值为4，分P的纵坐标为±4两种情况解答，故直线l的函数解析式为y=-x+8或y=-0.5x+4。

【例5】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4。求m的值。

分析：由已知AP=OP，易知点P在线段OA的垂直平分线上，那么就能求得△AOP是边长为4的等边三角形，就能求得点P到y轴的距离为      ，分点P在第一象限和第四象限两种情况求得P（2，    ）或（2，     ）。在把点的坐标代入一次函数解析式即可求出m的值为2+        或2-         。

【例6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-     x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点。

（1）求点A、B的坐标;

（2）点C在轴y上，当S△ABC=2S△AOB时，求点C的坐标。

分析：（1）根据函数的图象与x轴、y轴交点的坐标特点，分别令x=0、令y=0可求出点A 的坐标（2，0），点B的坐标（0，1）;（2）根据S△ABC=2S△AOB且两三角形同高可得出BC=2OB=2，注意分两种情况讨论：①若点C在点B上方，则点C坐标为（0，3）;②若点C在点B下方，则点C坐标为（0，-1），综上，点C坐标为（0，3）或（0，-1）.

由以上的讨论以及例题分析我们可以看出，分类讨论思想不是一个单一的、独立的思想，它往往和数形结合思想、整体思想等联系在一起。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思想条理性和概括性。因此，要学好分类讨论思想，就要在日常生活中加强意识，更好地把它与其他思想相结合，做到举一反三、融会贯通。

总而言之，分类讨论思想在中学数学中起着很重要的作用，学好分类讨论思想，不仅仅有利于我们对所学知识的归纳，有利于我们应对平常的学习任务，更为我们日常生活中解决实际问题提供了一定的帮助。

参考文献：

[1]刘文武.中学数学中重要的数学思想—分类讨论思想[M].科学出版社，2003.

[2]陆志昌，景山.初中数学解题思维方法大全[M].山西教育出版社，2015.