概率分布模型在井眼轨迹不确定性中的应用探讨

邸建伟， 陈秀一， 刘洪彬， 李相鹏， 黄芳飞

(1中石油海洋工程有限公司 2中石油长城钻探工程公司 3中石油川庆钻探工程有限公司钻采工程技术研究院 4中国地质调查局广州海洋地质调查局)

0 引言

在进行井眼轨迹数据采集和计算时，轨迹计算的结果受到深度误差、测量工具姿态、测斜仪器精度(井斜、方位)、钻具或外部环境对磁性工具的干扰、数据计算方法等因素的影响，这些因素均构成了轨迹数据结果的误差，且随着深度的增加误差将累计并放大，因此不管哪种测量仪器及计算方法得到的轨迹数据结果是存在误差的[1]。井眼轨迹在某一点的不确定性可以由一个椭球来描述，该椭圆为误差椭球。按照国际石油公司的通用惯例，比如壳牌、斯伦贝谢、雪弗龙等公司的防碰标准和做法是：从井口开始井深500 m内，最小误差椭球半径按2 m计算，井深每增加1 000 m则最小误差半径增加3 m，空间安全圆柱半径为误差椭球半径的2倍。

为了定量描述两口井间的安全距离定义了分离系数，分离系数是指两井眼中心距与两井眼中心距减去两井眼椭球间距的差值之比。

1 误差椭圆概率分布模型

井眼轨迹的误差是一种理论上的概念，轨迹误差椭圆半径为不同的误差源叠加结果，但是每种误差来源也是一种概率事件，误差源之间相互独立，各自具有不确定性及偶然性，导致误差椭圆半径出现具有随机性和不确定性，所以井眼轨迹的误差椭圆半径可以理论上看作随机出现的事件。通常工程上讨论的误差椭圆都是基于一定置信水平上的统计概念，且单纯某个误差椭圆半径的概率是没有意义的，只有对应的概率密度值，一定范围或区间内的误差椭圆半径才具有统计学的概率或累计概率意义。但是使用哪种统计分布模型来刻画不同误差椭圆半径出现概率至今没有一个定论。

轨迹误差椭圆半径为连续出现，必然服从连续概率分布，所以对于误差椭圆半径的描述可以集中到连续分布模型。常用的连续分布模型包括正态分布、指数分布、均匀分布等，下面分别描述。

1.1 正态分布

正态分布又名高斯分布，是一种很重要的连续型随机变量的概率分布，在石油领域中也存在广泛的应用[2-5]。正态分布模型主要由两个参数μ和σ刻画，其中第一个参数μ是正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ是此随机变量的标准差，正态分布模型可以记作N(μ，σ2)。服从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而距离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的概率密度函数与累计概率函数模型为式(1)～式(2)。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正(负)无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，满足3σ原则。

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1.2 指数分布

指数分布是另一个应用广泛的连续型分布函数，通常用于可靠性研究，用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。指数分布在石油领域中的应用虽少于正态分布，但仍然存在相关研究成果。如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X～Exponential(λ)，简记为X～e(λ)。指数分布模型只有一个参数λ描述，其中，正态分布的概率密度函数与累计概率函数模型为式(3)～式(4)。

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1.3 均匀分布

在工程实践中，均匀分布是经常遇到的另一种分布，其主要特点是：测量值或观察值在某一范围中各处出现的机会一样，即均匀一致，又称为矩形分布或等概率分布。如果一个随机变量X出现的概率是均等的，则服从均匀分布，其中A，B为X出现的边界，则服从U～ [A，B]其概率密度与累计概率函数模型,用式(5)～式(6)表示。

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下面以某油田一口待钻水平井与老井进行详细分析。

2 案例分析

某海上油田按照油藏要求进行水平井开发，其中水平井的着陆点A点附近20 m处存在一口直井探井，由于两井距离较近，在水平井钻进过程可能存在碰撞的风险。表1为水平井轨道设计数据表。

在Landmark软件内，设置置信水平为2σ，计算水平井不同深度下的误差椭圆半径，见表2,水平井与直井可能的碰撞点在A点处。从表2中可以看出，在A点处水平井的误差椭圆半径最大为25.06 m，该数据是基于3σ原则中95.45%置信水平下计算的值，是一个随机性的概率数值。那么在A点处不同误差椭圆半径对应的概率密度需要基于不同的分布模型来计算，误差椭圆半径出现的数值是呈连续性分布的，可以用以上讨论过的三个常用连续概率模型进行计算对比。

表1 水平井井眼轨道设计数据表

在A点处水平井的误差椭圆半径在置信水平为2σ情况下最大为25.06 m，最小为0 m，假设A点误差椭圆半径的期望为μ，满足μ+2σ=25.06，μ-2σ=0，通过该方程组得到μ=12.53 m，σ=6.27 m。基于μ与σ的数值讨论不同概率分布模型。

按照正态分布模型，在A点误差椭圆半径服从N(12.53，6.272)，根据正态分布的概率密度函数模型(式1)计算不同误差半径对应的概率密度；根据累计概率密度函数模型(式2)计算不同区间误差椭圆半径对应的概率。水平井与直井之间的间距为20 m，两者存在碰撞的可能性，如果误差椭圆半径服从正态分布模型，碰撞的可能性可以定量化。依据图1所示的计算结果，误差椭圆半径超过20 m的概率为12%，即存在12%的可能性两者会碰撞。

表2 水平井轨道在不同深度下误差椭圆半径

图1 基于正态分布下不同椭圆误差半径的概率密度与累计概率分布

按照均匀分布模型，在A点误差椭圆半径服从U～ [A，B]，误差椭圆出现的最小值为0，即A=0，B为可能的最大值，该值也无法确定，根据3σ原则在(μ-3σ，μ+3σ)范围内概率达到99.73%，统计学上认为超过小于0.05%即为小概率事件，几乎不可能发生。可以近似认为B=μ+3σ=31.34，即A点误差椭圆半径服从U～ [0，31.34]。根据均匀分布的概率密度函数模型(式5)计算不同误差半径对应的概率密度；根据累计概率密度函数模型(式6)计算不同区间误差椭圆半径对应的概率。如果误差椭圆半径服从均匀分布模型，对碰撞的可能性定量化。依据图3所示的计算结果，误差椭圆半径超过20 m的概率为36%，即存在36%的可能性两者会碰撞。

图2 基于指数分布下不同椭圆误差半径的概率密度与累计概率分布

图3 基于均匀分布下不同椭圆误差半径的概率密度与累计概率分布

三种概率分布模型表现出不同的特征。从概率密度分布曲线上看(图4)，指数分布随着误差椭圆半径的增大概率密度不断的减小，反映出误差椭圆半径低值出现的频率更大，概率更高，随着误差椭圆半径的增加出现的概率降低，即指数分布认为误差半径虽然可能出现较大值(比如超过20 m)，但主要集中在较小的范围内(小于10 m)；正态分布出现中间高两边低的特征，平均期望值周围出现的概率较大，误差椭圆半径越小或越大，出现概率都会减小，即正态分布认为误差半径虽然也可能出现较大值，但主要集中在期望值附近的范围内(7～18 m)；正态分布的概率密度不依赖误差椭圆半径的值，表现出不同误差椭圆半径出现的概率是无差别的。

图4 不同概率分布对应的概率密度

该案例中，设计的水平井轨道距离已钻老井距离为20 m，不管用哪种概率分布模型计算，两井都有存在碰撞的可能性，但是定量化描述后存在较大差异。根据累计概率计算结果(图5)，正态分布认为会有12%的概率碰撞，指数分布认为会有21%的概率碰撞，均匀分布认为会有36%的概率碰撞。

图5 不同概率分布对应的累计概率

从概率学角度，不管哪种概率都有利弊，具体要基于油田开发的阶段而定。如果一个油田处于初始勘探、评价阶段，MWD等工具应用较少，矫正参考不确定，成熟数据计算方法尚未建立，可以认为误差椭圆半径出现的概率比较接近，此时近似于均匀分布；当油田进入开发阶段，已经积累了一定的钻井工程经验，MWD等工具使用频繁、统一校核、工程经验逐渐积累，此阶段的误差椭圆半径会呈现一种均值附近摇摆的状态，即近似于正态分布；当油田进一步开发，工程经验积累到成熟程度，完全摸清该油田地质特征，钻井的误差椭圆半径会进一步的降低，呈现指数分布的特征。

3 结论

1)井眼轨迹在空间中存在不确定性，理论上可以看作随机出现的事件，没有确定的概率分布模型来进行定量化描述。

2)以某油田水平井为例，采用三种连续概率模型正态分布、指数分布及均匀分布模型进行误差椭圆半径概率密度及累计概率计算，定量化计算两井碰撞的概率分别为12%、 21% 和 36%。

3)三种概率模型各有利弊，适用于不同油田开发阶段。建议各地区、各服务商应该积累自己的历史数据，找到适合的预测方法，减少井眼相碰带来的损失。