深层平板载荷试验变形模量计算新方法

尚许雯 尚银生 贾迎泽 杨进堂 孙存珠

(1.山西省交通规划勘察设计院有限公司，山西 太原 030012；2.山西省勘察设计研究院有限公司，山西 太原 030013；3.山西省建筑科学研究院有限公司，山西 太原 030001)

随着经济的高速发展、科技水平的日益提高，越来越多的高层、超高层建筑物，这些建筑物常常具有体型复杂多变、高低层错落、埋深较大、荷载不均匀等特点，出现在人们的视野中。随之，建筑物的基础深度越埋越深，采用一般的钻探、静探及物探等方法的测试结果，与实际存在一定的误差，特别是将以上结果用于采用天然地基上的深基础设计时更存在一定的风险。只有对深部持力层进行现场试验，测试其实际承载力及变形状况，才能对建筑物的安全设计提供可靠的保障。深层平板载荷试验就可以解决该问题，其结果能够如实反映深部基础持力层的工程特性。既保证了建筑物的安全使用，又可以合理的进行地基设计。此外，建筑施工中，对于采用刚性桩的桩端持力层，其工程参数也可以利用深层平板载荷试验的方法来确定，以此为依据可以确定合适的桩长，以免造成浪费，从而真正做到：技术先进、经济合理、确保工程质量、提高投资效益。

载荷试验可用于测定承压板下应力主要影响范围内岩土的变形模量等，深层平板载荷试验适用于深层地基土，它与浅层平板载荷试验的区别在于存在边载、荷载作用于半无限体的内部。因此，目前确定深层平板载荷试验的变形模量计算方法包括两种途径，其一：对浅层平板载荷试验的变形模量计算方法进行修正，大多数的规范对此予以采用。它以GB 50021—2001岩土工程勘察规范[1](2009年版(以下简称《岩规》))最具代表性，其他诸如GB/T 50123—2019土工试验方法标准[2]、JGJ 340—2015建筑地基检测技术规范[3]、GB 50307—2012城市轨道交通岩土工程勘察规范[4]、TB 10018—2003铁路工程地质原位测试规程[5]、工程地质手册(第4版)[6](以下简称《手册》)等基本沿用了《岩规》中这一方法。它循序建立在顾宝和先生等(2000)提出的修正系数I1[7]对浅层平板载荷试验变形模量计算公式的修正、高大钊先生等(2002)提出的修正系数I1I2[8]在前者研究成果的基础上进行修正。这一系列计算方法虽然有一定的理论分析、公式验证等，但出发点主要在于对浅层平板载荷试验变形模量计算方法的修正，而浅层平板载荷试验变形模量计算方法以Bussinesq课题解析解为基础，因而存在一定的理论缺陷；此外其建立过程不够严谨。其二：根据Mindlin课题解析解，直接推导出均质、各向同性、半无限体弹性介质下，变形模量的计算公式。但受该解析解公式的繁复、试验深度等因素的影响，Mindlin课题解析解一直未得到应有的运用。本文针对Mindlin课题解析解，结合《岩规》等对深层平板载荷试验的尺寸确定及试验深度要求，对其进行相应的简化、推导，从而得出一个理论依据更为充分、建立过程更为严谨的变形模量计算新公式。

1 《岩规》变形模量计算方法

深层平板载荷试验的荷载作用于半无限体内部[9]，《岩规》规定深层平板载荷试验的试井截面应为圆形，承压板直径宜取0.8 m～1.2 m，GB 50007—2011建筑地基基础设计规范规定承压板直径采用0.8 m。且其试验深度不应小于5 m。《岩规》等深层平板载荷试验的变形模量E0(MPa)按下式计算：

(1)

ω=I0I1I2(1-μ2)

(2)

其中，I0为刚性承压板的形状系数，圆形承压板取0.785；μ为土的泊松比(碎石土取0.27，砂土取0.30，粉土取0.35，粉质粘土取0.38，粘土取0.42)；d为承压板直径,m；p为曲线线性段的压力,kPa；s为与p对应的沉降,mm；ω为与试验深度和土类有关的系数，可按表1选用。

表1 深层载荷试验计算系数ω

其中：

(3)

(4)

其中，I1为与刚性承压板埋深有关的系数；I2为与土的泊松比有关的系数；z为试验深度,m。

式(3)由顾宝和等(2000)提出，以下简称顾氏修正系数；式(4)由高大钊等(2002)提出，以下简称高氏修正系数；现行《岩规》等计算变形模量的方法，建立在高氏修正系数的基础上，令ω=I0I1I2(1-μ2)而来，因此对高氏修正系数的讨论实质上也就是对《岩规》等变形模量计算方法的商榷。

2 几点商榷

文献[8]是现行《岩规》变形模量计算方法的建立基础。由于深层平板载荷试验的开口效应、承压板上无介质存在，它和Mindlin课题假设是有所区别的，因此无论是用Boussinesq课题、还是Mindlin课题描述深层平板载荷试验的特点都不是严格符合的，有一定的局限性。然而当前变形模量的确定方法基本上仍不能脱离Boussinesq解析解及Mindlin解析解。文献[8]认为相对这两种解析方法而言，有限元方法能够较好的模拟深层平板载荷试验，并且能够模拟试验过程中的卸荷过程，但遗憾的是：文中并未反映出与此相关实质性的内容，因此，该文赖以分析的a，b，c，d四条曲线中(见图1，图2)，a曲线即有限元与Boussinesq解比值，在不同泊松比的情况下随z/d的变化，由于缺少应有的内容介绍，无法进一步与其他曲线对比分析，并且并非最终推荐修正系数所利用的拟合曲线，因而以下不予以讨论。其他：b曲线为Mindlin解与Boussinesq解比值随z/d的变化；c曲线为公式Ip=I0I1(1-μ2)随z/d的变化；d曲线为建议公式IpI2随z/d的变化。

2.1 b曲线不存在与c，d曲线对比分析的合理性

b曲线为Mindlin解与Boussinesq解比值随z/d的变化。由于形状系数与试验深度无关，仅随承压板的形状而变化，因此Mindlin解与Boussinesq解的比值已不包括形状系数等(见式(7)，式(10))，而c，d曲线包括之，且形状系数小于1，显然两者的对比不在同一个起点上。受形状系数的影响，d曲线相对于b曲线的下移不能作为建议公式更为合理的依据，也不是修正系数I1I2正确来源的曲线。

2.2 c曲线不存在与d曲线对比分析的合理性

Mindlin解与Boussinesq解的比值已不包括(1-μ2)(见式(7)，式(10)),而c曲线包括之，且其值随泊松比的增大而减小，因此文献[8]“随着泊松比的增大，公式Ip=I0I1(1-μ)2得到的值与理论值的差值逐步增大”并非c曲线真正不合理的理由，更不能将其作为建立高氏修正系数的基础。

2.3 修正系数成立条件

总之，图1各曲线不存在对比分析的合理性，并未满足一定的假设条件，也未完全反映上述各自计算公式，因此不能根据图1曲线进行所谓的回归分析；根据图1，图2就认为以“建议公式得到的埋深修正系数与理论值拟合较好，建议公式更加合理”的结论并不严谨。

2)顾氏修正系数要求z>d时成立，而从现行《岩规》的尺寸确定：0.8 m～1.2 m及试验深度z>5.0 m要求来看，即z>4.2d～6.3d，意味着其成立条件过于宽泛、已不符合现行规范相关数据要求。

3)对照图1，当z≥4.2d～6.3d时，b,c,d曲线随z/d的变化已趋于平缓，以z/d=10 m，5 m(变化1倍)为例，泊松比不变的情况下，顾氏修正系数、高氏修正系数增加4%。即它对修正系数及所谓的建议公式等影响可以忽略，以此，顾氏修正系数以d/z为因变量进行修正的必要性不大，因而顾氏修正系数及在顾氏修正系数基础上再进行完善的高氏修正系数已然不够严谨。再对照图1a)与图1b)可以看出，土的泊松比对修正系数的影响更为明显，尤其是对b，d曲线；图2也说明了泊松比对修正系数的影响，以μ=0.2，0.4(变化1倍)为例，高氏修正系数增加27%。对一个小变化的修正系数进行大变化的修正，意味着本末倒置。

因此z<4.2d～6.3d时，图1曲线斜率大的部分无用；z>4.2d～6.3d时，z/d对b，c，d曲线的影响变化已趋于平缓，其作为修正系数的因变量必要性不大及土的泊松比对b，d曲线影响明显，其应为修正系数的主要因变量是这组曲线的最重要特点。

3 变形模量计算方法

3.1 由Mindlin课题解析解推导出的变形模量计算方法

圆形均布荷载作用下，荷载作用于均匀的、连续的、各向同性的半无限体的内部z处，直径为d的圆形区域，则荷载中心线上深度z0处的垂直位移计算公式为[8-11](即深层平板载荷试验)：

(5)

参数意义同上。

式中：

对于式(5)，当计算承压板下位移时，即有：

z0-z=0;

因此：

(6)

根据深层平板载荷试验的尺寸确定及试验深度要求，即试验深度不小于5 m，承压板直径0.8 m～1.2 m，可以认为：

d/2≪2z;

r1≈2z。

因此本文根据Mindlin课题解析解推导出的深层平板载荷试验变形模量计算方法为：

(7)

它与《岩规》计算方法明显不同，略去了试验深度的影响等，并对照式(1),式(2)，可以令:

(8)

为对应于顾氏、高氏修正系数的部分(以下直接称为本次修正系数)。

从式(7)及式(1)～式(4)进一步对比可以看出，计算变形模量不同方法间的本质区别在于顾氏修正系数I1、高氏修正系数I1I2及本次修正系数I的不同。

3.2 由Boussinesq课题解析解推导出的变形模量计算方法

圆形均布荷载作用下，荷载作用于均匀的、连续的、各向同性的半无限体的表面，直径为d的圆形区域，则荷载中心线上深度z0处的垂直位移计算公式为[8-11](即浅层平板载荷试验)：

(9)

参数意义同上。

对于式(9)，当计算承压板下位移时，z0=0，即有：

EB=I0(1-μ2)pd/s

(10)

4 不同修正系数对比分析

4.1 不同修正系数的计算分析

根据式(3)：

当d=0.8 m～1.2 m，z=5.0 m,10.0 m及趋于无穷大时(工程意义上或d≪z)：

I1=0.537～0.555,0.518～0.528,0.500。

即I1介于0.500～0.555；最小值为0.500。

根据式(4)：

当d=0.8 m～1.2 m，z=5.0 m,10.0 m及趋于无穷大时(工程意义上或d≪z)：

μ=0.00,0.27,0.30,0.35,0.38,0.42,0.50时：

I1I2=0.534～0.555,0.621～0.642,0.642～0.664,0.684～0.708,0.714～0.739,0.762～0.788,0.868～0.902；

0.518～0.528,0.599～0.610,0.620～0.631,0.661～0.673,0.690～0.702,0.733～0.746,0.842～0.857；

0.500,0.578,0.598,0.638,0.665,0.707,0.812。

即I1I2介于0.500～0.902。

根据式(8)：

当μ=0.00,0.27,0.30,0.35,0.38,0.42,0.50，d/2≪2z时：

I=0.375,0.450,0.459,0.473,0.481,0.490,0.500。

即I=0.375～0.500；最大值为0.500。

所有计算成果见图3。

1)本次修正系数I与土的泊松比有关，随泊松比增大而增大，并逐渐接近顾氏修正系数；而且当μ=0.00～0.50时，I=0.375～0.500。2)顾氏修正系数随承压板直径和试验深度的相对关系而变化；与土的泊松比无关。3)本次修正系数与高氏提出《岩规》采用的修正系数相同之处在于都考虑了土的泊松比所产生的影响，但泊松比所起的作用不同I≤0.500，对深层平板载荷试验确定的变形模量，进行了相对更大程度的折减，有利于提高建筑工程的安全性；I2=(1+2μ2+2μ4)使顾氏修正系数得以放大、大于1的倍数。4)随着试验深度的加深，顾氏修正系数、高氏修正系数都略有减小，但后者相对幅度较大，本文修正系数无变化。无论顾氏修正系数，还是高氏修正系数，承压板直径对修正系数的影响幅值收窄；当z趋于无穷大时(工程意义上或d≪z)，顾氏修正系数及高氏修正系数的幅值(承压板直径的影响产生)与本次修正系数(d/2≪2z)一样，收窄于各自的极限值、最小、幅值为0，承压板直径的影响已无反映。5)随着承压板直径的增大，顾氏修正系数、高氏修正系数都略有增大。6)从图2中b曲线可以看出，修正系数小于0.500，恰恰反映了本次修正系数的合理性。

总之，本次修正系数与顾氏、高氏修正系数最关键的一点在于：前者在不大于0.500的范围内，随泊松比的增大而增大，当土的泊松比为0时，前者修正系数最小为0.375；土的泊松比为0.5时，修正系数最大为0.500。后两者的修正系数在不小于0.5的范围内，随泊松比的增大而增大，当测试深度趋于无限大(工程意义上或d≪z)时，修正系数最小为0.500。当修正系数改变后，《岩规》推荐利用的表1亦应做相应的修改。

4.2 《岩规》采用的高氏修正系数进一步分析

文献[8]根据弹性解析解理论分析和数值计算结果回归分析，提出的高氏修正系数，由于并无相关的数值计算方法及具体如何回归分析、回归分析的效果说明，因而无法对此作出相应的评价，但这个修正系数与Mindlin课题圆形垂直均布荷载解理论上存在一定的矛盾性。尽管两者都随泊松比的增大而增大，但是，顾氏修正系数已经偏大，再乘以一个大于1的系数会使深层平板载荷试验确定的变形模量过大而偏于不安全。

由于本次修正系数I来源于一定条件下的两个理论解的比值，将之等同于图1,图2中的b曲线时，结合c,d曲线所代表的公式，可以认为所谓的“随着泊松比的增大，公式Ip=I0I1(1-μ2)得到的值与理论值的差值逐步增大”“根据建议公式得到的埋深修正系数与理论值吻合得比较好，建议公式更加合理”的结论都不能作为d曲线更加合理的依据。

5 结论

1)从Mindlin课题解析解出发，结合深层平板载荷试验的尺寸确定及试验深度要求，从而推导出一个新的计算变形模量公式。2)本文提出的变形模量计算方法及相应的修正系数与《岩规》等变形模量计算方法及顾氏修正系数明显不同，前者仅以泊松比为因变量，后者以承压板的尺寸与埋深的比值为因变量。也与高氏修正系数明显不同，前者利用泊松比更为调低了变形模量的计算值，有利于提高建筑工程的安全性；后者利用泊松比调高了变形模量计算值。3)相同的试验条件下，当μ=0.00～0.50时，本次修正系数在I≤0.500的范围内，随土类的泊松比增大而增大，其值介于0.375～0.500，最大值为0.500；高氏修正系数在I1I2≥0.500的范围内，随土类泊松比的增加而增加，其值介于0.500～0.902,最小值为0.500；顾氏修正系数I1随试验深度的增加而减小，其值介于0.500～0.555，最小值为0.500。4)b曲线不存在与c,d 曲线对比分析的合理性，c曲线不存在与d曲线对比分析的合理性，它不应成为建立高氏修正系数的基础；顾氏修正系数的成立条件明显宽泛于现行《岩规》相关数据要求；当z<4.2d～6.3d时，曲线斜率大的部分无用；当z≥4.2d～6.3d时，土类的泊松比是修正系数的主要因变量，尺寸与试验深度的相对关系所产生的影响可以忽略；因此，所谓的建议公式(考虑了高氏修正系数)与理论值拟合较好、建议公式更加合理的结论并不严谨；《岩规》利用高氏修正系数计算变形模量有待商榷。