人教版数学七年级上册《角》（第一课时）教学实录与评析

邬建宁 戴启猛

【摘要】本文以人教版数学七年级上册《角》第一课时教学为例，阐述“四度六步”教学法在初中平面几何教学中的应用，这节课以温习角、定义角、表示角、度量角、应用角为主线，为学生梳理学习几何基本图形的思路，打造精彩数学课堂，为深入研究平面几何图形打下基础。

【关键词】初中数学 《角》 “四度六步”教学法 精彩课堂

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）02A-0020-04

人教版数学七年级上册《角》一课，要求学生能辨认角、会画角，能给角下定义，会用数学符号表示角。教师在学生已经会辨认角、会画角的基础上，通过丰富的实例引导学生进一步认识角，并能从静态和动态两种描述给角下定义，再借助类比的学习方法了解角的度量方法等，让学生体验从具体到抽象，从图形到文字、到符号、再到性质等，是初中阶段研究几何基本图形的学习思路。

一、复习提问，温故孕新

师：同学们，我们已经学习了线段、射线、直线和两点确定一条直线的基本事实（教师在黑板上任意画两个点A，B），请问过同一平面的两点能画多少条直线？

生：一条。

师（在黑板上画出两点A，B确定的直线，并在直线右侧标上小写字母l，然后强调）：对。经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

师：你能用数学符号表示黑板上的这条直线吗？

生：直线AB，直线BA，直线l.

师：刚才大家说的都是直线的表示方法，谁能说说这么表示的合理性？

生：根据两点确定一条直线，我们在直线上任取两点就可以表示这条直线。也可以用一个小写字母表示一条直线。

师：如果老师在直线上再标一个点C，直线AC表示的還是这条直线吗？

生：是。

师：不错，同学们在刚才的回顾中抓住了“两点确定一条直线”的本质，准确地完成了直线的表示。老师还想问大家，经过平面内一点可以引出多少条射线？

生：无数条。

（教师在黑板上画出一条射线OA）

师：你会用数学语言表示吗？

生：射线OA.

师：能表示成射线AO吗？

生：不能，射线的表示要求第一个字母必须是射线端点的字母。

师：如果从一点出发的无数条射线只留下两条，会出现什么图形？

（教师在黑板上画出图形，学生看图识角）

生1：一个角。

生2：锐角。

师：很好。大家都发现从一点出发的两条射线构成的图形是角，今天老师就和大家一起来学习“角”。

评析：教师通过引导学生回顾熟悉的直线、射线的表示方法和相关性质，为角的概念和角的表示法学习生成建立联系，进行铺垫，可谓“复习提问，温故孕新”。

二、创设情境，引入课题

师：对于角的概念，同学们并不陌生，请看投影上的图画。这幅图蕴含着我们今天学习的内容——角，你能用一句诗来形容这幅图吗？（教师板书课题《4.3.1 角》）

生：小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头。

师：不错，今天同学们就是这尖尖角，老师期待你们在今天的课堂上有精彩的表现。

师：在我们的现实生活中存在着许许多多的角，你们能从教室的物品中找到角吗？

生1：黑板的边框上有角。

生2：闹钟上的时针和分针组成角。

生3：课桌上两条边成一个角。

师：同学们在教室里找了不少角，谁能在老师出示的图片中找出角的形象？

……

师：这两张图片中有很多的角，你们有没有发现这两张图片中的角有什么不同之处呢？

生：第二张图片中的角是会动的。

评析：教师通过古诗及让学生在生活环境中找角，激发了学生学习几何图形和相关知识的兴趣，让学生去深刻感受数学无处不在，同时体会我们的生活离不开数学，打造有温度的课堂。

师：我们身边的角有静止的也有会动的，老师把它们的形象代表画在黑板上，谁能用自己的语言概括一下，怎样的图形叫做角？

生：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。（教师板书）

评析：数学概念的形成和掌握是建立在学生已有经验之上的。教师在本环节让学生借助已有的生活经验观察身边的实物和图片，初步感知生活中角的形象，引导学生观察图形，回忆小学的知识，再现角的定义。

师：这个点叫什么？（生：端点）这两条射线叫什么？（生：角的两条边）这两条射线之间的部分也称为角的内部，两条射线以外的部分称为角的外部。（教师一边说，一边在黑板图上用简洁的文字标注）

评析：教师引导学生理解角的概念，重点放在对角的典型特征的认识，即认识角的各部分名称，明确顶点、边的作用。

师：角可以画在练习本上、黑板上，地面上有角，墙面上有角，那么角的位置是由谁决定的？

生：角的顶点。

师：很好。那么角的大小由什么来决定呢？与角的两条边的长短有关系吗？

生：没有。

师：角的大小和什么有关？

生1：角度。

生2：与角的两条边张开的大小有关。

师：角的大小与角的两边张开的程度有关，与两条边的长短无关。如果把没有打开的圆规看成一条射线，请同学们观察老师手中圆规的变化，你能说一说，老师手中的角是怎么形成的吗？

生：角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。（教师板书）

师：如果把有公共端点的两条射线形成的角看成角的静态定义，我们就可以说这是角的动态定义了。同学们，你能用角的动态定义来描述平角和周角吗？

生3：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角;当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB重合时，形成周角。

师：如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都是指小于平角的角。

评析：观察圆规的展开，发现角可以由一条射线绕着它的端点旋转而成，这不仅丰富学生对角的概念认识，更可以让学生从运动的观点去描述角。

完成角的静态和动态两种定义，教师出示下列题组，要求学生一题一题地判断并说出错误的原因，加深对概念的理解。

【判一判】

①角就是两条射线（   ）

②平角就是一条直线（   ）

③角的边画得越长角就越大（   ）

④时钟指向18时整，时针和分针形成一个平角（   ）

评析：认识角的概念，关键是帮助学生明确角的典型特征（公共端点和两条射线），容易遗漏的是“公共端点”。教师引导学生通过观察、思辨、交流等活动明辨角的概念，意在把学生的内部思维活动转化为外部语言表述，不仅深化对角的理解与认识，更培养了学生初步使用几何语言的能力。

三、合作探究，活动领悟

师：同学们已经会从两个角度来描述角的定义，每个新生事物诞生时，人们总会给他一个标记，取个名字。我们小学时就已经掌握用角的符号“∠”（读作“角”）来标记角，你能联系线段、直线及射线命名的方法给由射线OA，OB组成的角起个合理的名字吗？请同桌之间交流讨论后再回答老师的问题。

生1：可以在角的顶点上标上弧和写一个数字1，这个角可以表示成∠1.

生2：我觉得可以给这个角取名為∠O.

师：理由是什么？为什么不命名为∠A或∠B.

生2：因为角的顶点决定了角的位置，O点是角的顶点。

师：真棒！你抓住了角的本质，有公共端点的两条射线中的公共端点。如果老师从顶点O再引一条射线OC，还能用∠O来表示这个角吗？

生3：这时候不能用∠O来表示，我想用三个字母表示这个角。

师：哪三个字母？

生3：∠OAB.

师：说一说你用这种方法表示的理由。

生3：因为这个角是由具有公共端点的两条射线OA，OB 组成的。

师（进一步追问）：为什么你不选择∠AOB或∠OBA，而是用∠OAB来给这个角命名呢？

生3：第一感觉。

师：请你再观察黑板上的图形，想想射线的命名，给自己用三个字母命名角的合理性找找理由。其他同学有什么不同的意见吗？

生3：老师，我要改成∠AOB，因为这个角是由射线OA，OB组成的，但是公共端点O决定了它的位置。

师：其他同学有不同的意见吗？

生4：我认为还可以表示成∠BOA，因为有公共端点的两条射线组成角，但是并没有规定边的顺序。

师：很好，三个大写字母表示角只要求表示角的顶点字母写在中间，并不要求表示射线方向的字母顺序，这个角可以表示成∠AOB或∠BOA。由此我们就得到了角的三种表示方法，此外，角也可以用弧线加希腊字母表示，因此角的常用的表示方法有四种。

（教师板书）

角的表示法：

1.用一个大写字母表示：表示角的顶点的字母∠O（注：以O为顶点的角只有一个）。

2.用三个大写字母表示：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB或∠BOA（表示角的顶点字母一定要写在中间）。

3.用数字表示：∠1，∠2.

4.用希腊字母表示：∠[α]，∠[β]（必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角）。

评析：因为有联系，所以有感悟。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”在教学中，教师让学生讨论，大胆猜想，去探究表示角的恰当方法，教师通过对学生命名角的表示法的合理性进行追问剖析，紧扣课标，强化学生角的顶点意识，追求有深度的课堂;教师在学生讨论角的表示方法不完整或不正确时加以引导和纠正，对学生领悟角的概念起到了画龙点睛的作用。

四、师生互动，变式深化

【找一找】下面表示∠DEF的图是（   ）

【换一换】如图，你能用不同方式把表格中的角表示出来吗？

【写一写】

（1）写出图中能用一个字母表示的角;

（2）写出图中以E为顶点的角;

（3）图中共有几个小于平角的角？

师：通过练习，请同学们再次总结角的表示方法。

评析：完成角的静态和动态两种定义之后，教师出示一组变式题，通过“找一找”“换一换”“写一写”三个层次的推进，不仅可以促进学生对角的表示法的熟练掌握，更可以通过“换一换”以满足不同层次学生的需求，实现有梯度的课堂。完成练习后引导学生再次对角的四种表示方法进行总结，也是绝妙一笔。一节好的数学课，核心概念理解，问题解决，解题技巧等方法的归纳和梳理，应该是随时随地、恰时恰点发生，恰到好处，对于重点内容的强调，也应是次第重复，螺旋上升。尤其在教学中每讲解完一道题或一类题，引导学生回头思考问题和解法的特点和异同，从而适时感悟规律，及时提炼方法。

师：时间的度量单位是什么？它们之间有什么关系？

生：时、分、秒;1小时等于60分钟，1分钟等于60秒。

师：半小时是多少分钟？

生：30分钟。

师：90分钟是多少小时？

生：1.5小时。

师：时间的单位和换算我们很熟悉，那么常用的角的测量工具是什么？角的度量单位又是什么呢？

生：常用的角的测量工具是量角器，角的度量单位是度。

师：大家回答得不错，请同学们翻开课本，阅读133页，再思考老师提出的问题。

（学生阅读完毕后，教师结合课本提出的角度的起源和密位制等做个简单的知识性拓展和小结，引导学生完成练习）

【算一算】

评析：好的课堂应是动静结合的，既有师生、生生互动，也有学生的独立思考和自主阅读。优秀的教师总能契合学生的实际，运用恰当的教学方法，让学生富有成效地学习。此外，教师让学生带着问题自学书本内容，自主探索角的换算，引导学生类比时间的度量单位，去发现以度、分、秒为单位的计算都是以60进制进行的，适时让学生表达自己对角的运算的想法，并适当介绍角度制的起源和它在军事上的运用，将数学课堂知识延伸到历史、军事等领域，在激发学生数学学习兴趣的同时，实现有宽度的课堂。

五、尝试练习，巩固提高

师：我们已经学习角的相关知识，接下来想请同学们去挑战与角有关的两道拓展规律性的问题。看谁能又快又准地回答。

1.同时使用一副三角板（两块）可以画出哪些度数的角？

2.发现下列图中角的个数：思考从一端点引n条射线，共有多少个角？

评析：初中学生正处在好强好胜的年龄，出示上述两道与角有关的拓展规律性的问题，不仅是对与角有关知识的巩固提高，更是把学生的思维活动推向高潮，实现有深度的课堂。

六、适时小结，兴趣延伸

1.本节课我们学到了什么知识？你还有什么问题吗？

2.本节课我们在命名角的时候，联系了前面哪些几何基本图形的表示方法？

3.对比线段的学习，你认为在学习了角的表示方法后，还有什么值得我们去研究？

评析：本节课的小结归纳分为两条线：一条是“暗线”，对概念特征、表示方法及解法归类的小结是贯穿在整课学习和探究过程之中的，可谓适时归纳，反复强调，螺旋上升。一条是“明线”，即课的结尾小结，重在引导学生回顾本节课重难点，教师利用精心设计的板书，帮助学生把握知识要点，厘清知识脉络，培养学生自我归纳概括的能力，形成知识系统。同时通过类比了解学习几何图形基本概念的思路，为后续的学习搭建探究的桥梁，对所学知识进行延伸。

【板书设计】

【总评】

本课运用“温故——引新——探究——变式——尝试——提升”六步教学法精心演绎初中数学精彩课堂。“温故”环节通过对线段和射线的表示法及其缘由的回忆为角的表示法的命名埋下伏笔;“引新”环节由学生观察生活中熟悉的校园环境和实物图形并从中抽象出角定义，培养学生的抽象概括能力，学生会用静止和运动的观点来说明角的形成，培养学生多角度分析思考问题的能力;“探究”环节学生通过给角命名及探讨命名的合理性，激发学习的兴趣，强化对知识的记忆，还通过独立阅读掌握有关角的单位的换算，培养独立思考和阅读理解的能力;“变式”环节通过变式题层层升入，加深学生对角的表示法的熟练应用，尤其是“换一换”是开放性的问题，不同掌握程度的学生能写出的角的个数也不同，满足不同层次学生的需求，实现课堂的梯度教学;“尝试”环节通过对知识的辨析，强化学生对概念的理解，及时巩固所学知识，并把学生思维活动推向高潮;“提升”环节体现适时、适度和恰到好处，让人感受到精彩课堂总是以问题开始，同样应以问题结束。让学生带着问题进来，同样让学生带着更高层次的问题离开课堂。

精彩的数学课堂，应促使学生进行积极而深刻的思考。本节课教师努力从学生已有的基础出发，层层铺垫、精心设计“问题串”，以激发学生多角度思考、探究知识的形成过程，进而形成学习几何基础图形的学习思路。尽管教师在时间把握上前松后紧，导致知识拓展练习未能在课内精彩呈现，同时因是借班上课，教师对个别学生的回答未能给予及时而有质量的关注，但本节课仍然不失为一节有温度、有梯度、有深度和有宽度的精彩课堂。

作者简介：邬建宁（1976— ），女，广西柳江人，高级教师，理学学士，南宁市教学骨干，南宁市教育系统优秀共产党员，戴启猛特级教师工作室成员。研究方向：中学数学课堂教学及管理。

戴启猛（1966— ），江蘇省盐城人，正高级教师，广西特级教师、南宁市学科带头人、南宁市教坛明星、南宁市专业技术拔尖人才。研究方向：基础教育、中学数学教学研究。

（责编 刘小瑗）