基于分布参数模型的相邻结构阻尼器减震参数分析

郑人逢 牛志伟

(河海大学 水利水电学院,南京210098)

随着城市建筑密度越来越大,相邻建筑在强震作用下存在碰撞的风险,因此如何有效控制和降低此类风险的发生,得到越来越多人的关注和研究.其中在相邻建筑结构之间设置减震控制装置,是一种行之有效的手段,它既能吸收地震能量、减小结构地震作用下的反应,同时也降低了发生碰撞的风险[1].相较于主动与半主动控制,相邻结构被动控制易于实现,问题在于如何选取合理的阻尼器参数,使得结构在地震下的反应最小.

国内外学者展开了大量的相邻结构减震参数分析及试验研究.杨震[2]对流体阻尼器连接的耦联结构进行了振动台试验研究和理论分析,试验结果表明,选择合理参数的阻尼器连接自振特性不同的两相邻结构,没有引起结构自振频率较大的变化,同时又减小了结构地震反应.基于集中质量模型,黄潇,朱宏平[3]分别对粘弹性阻尼器和黏滞阻尼器连接的相邻结构进行了优化参数分析,并提出优化参数表达式.朱宏平,翁顺,陈晓强[4]采用Maxwell模型模拟连接相邻结构的流体阻尼器,分别以主结构平均振动能量和结构总振动能量作为减震控制目标,导出阻尼器最优参数解析式.另外基于简化模型进行相邻结构间相互作用的理论研究,即致力于揭示控制相邻耦联结构动力响应最主要参数以及建立阻尼器参数与耦联系统动力特性之间的联系研究.例如Richardson 等[5]将相邻连体结构简化为单自由度及阻尼器单元的模型,分析结构以及阻尼器参数对耦联结构体系频率、模态阻尼及动力响应的影响,基于一定的最优控制目标(结构位移、加速度、能量等)求解最优的阻尼器控制参数.Kim等[6]基于SDOF 模型进行了粘弹性阻尼器连接的相邻结构的抗震性能分析.采用白噪声和地震波作为激励,分析粘弹性阻尼器参数对结构减震效果的影响.结果表明,当相邻结构动力特性差异较大时,一定存在一个参数最优的粘弹性阻尼器使得结构的地震反应最小.

上述研究多集中在SDOF 简化模型层次,不能全面反映实际结构的特性.本文基于分布参数模型,以剪切型梁单元模拟相邻结构,弹簧单元与阻尼单元并联模拟阻尼器力学特性.通过复模态理论,求解结构动力特性,分析结构以及阻尼器的主要控制参数对结构频率的影响,分析相邻结构的减震机理.采用Clough-Penzien白噪声模型作为地震激励,分析阻尼器刚度、阻尼等无量纲参数对结构地震反应的影响.以结构总能量最小作为减震目标,寻求阻尼器的最优参数,为实际的相邻结构减震设计提供理论上的依据.

1 相邻结构动力特性分析

1.1 分布参数模型

阻尼器连接的相邻结构减震分析模型由两根均匀剪切梁A、B 以及顶部的弹簧和阻尼单元构成.结构A、B高度相同,为H；结构A、B 的分布质量分别为mA(x)、mB(x)；弹性剪切刚度分别为GAA(x)、GAB(x)；阻尼分别为cA(x)、cB(x)；阻尼器的阻尼和刚度参数分别为为cd和kd.结构A、B的侧向位移分别为wA(x,t)和wB(x,t).

1.2 建立运动方程

根据达朗贝尔原理[7],图1所示连体结构体系悬臂梁A、B的运动微分方程为:该连体结构的运动方程满足边界条件:(a)固定端处位移为零；(b)固定端处转角为零；(c)A梁自由端处剪力平衡；(d)B 梁自由端处剪力平衡.如式(3)～(6)所示:

其中:

式中:γk为结构A、B 剪切刚度之比；γω为结构A、B基频之比；γkd和γcd分别为无量纲化的阻尼器刚度和阻尼参数.

1.3 求解结构体系特征值

根据分离变量法,方程(1)～(2)的解可以设为如下形式:

代入运动方程(7)、(8),得

其中:

方程(15)、(16)有如下形式的解

写成矩阵形式,即D4×4C4×1=0.该方程组存在非零解的必要条件是系数行列式为零,即

得到关于连体结构频率的特征方程,即

该特征方程包含λ,γk,γω,γkd,γcd等未知量,结构频率λ取决于连体结构参数γk,γω,γkd,γcd.基于复模态理论采用牛顿切线法求解特征方程(20)得到不同结构参数下的连体结构频率.由于阻尼器的贡献,连体结构体系阻尼矩阵为非比例阻尼,求解得到的结构频率λ 为复数,且存在共轭的复频率λ*,即

2 结构随机地震响应求解

假定地面地震加速度输入功率谱密度为S¨xg(ω),根据虚拟激励法[8],构造地面运动加速度为¨xg=.根据文献[9]导出结构传递函数H(ω),并以此求解结构虚拟位移、速度与加速度响应分别为:

根据随机振动理论[10],线性系统平稳反应与激励的功率谱密度关系如下:

系统的总能量功率谱密度函数为:

地震反应的功率谱密度函数在频域内积分得到连体结构位移、加速度与能量反应标准差如下:

采用Clough和Penzien提出的过滤白噪声模型作为地震加速度谱模型[11],表达式如下.

式中:ωg,ξg,S0分别为地基土的卓越频率、阻尼比以及谱强度因子；ωf=0.1ωg～0.2ωg,ξf=ξg.

3 结构动力特性分析

分析模型参数为:结构高度H=25.6 m；结构A、B的质量、刚度及阻尼沿结构高度方向均匀分布,mA(x)=mB(x)=1.42×105kg/m,GAA(x)=2.01×108N/m,ξA=ξB=0.02；阻尼器参数为kd和cd.

3.1 阻尼器刚度对结构频率、模态阻尼的影响

图2～3分别为阻尼器刚度对结构一阶频率及模态阻尼比的影响规律.两相邻结构的基频之比ωA/ωB分别取0.3,0.5,0.8.由图可知,阻尼器刚度无量纲参数γkd＜10-3时,结构一阶频率基本无变化；γkd＞10-3后,一阶频率值随阻尼器刚度增大迅速增大,相邻结构间的耦联作用逐渐增强.当10-3＜γkd＜10时,一阶模态阻尼比值随阻尼器刚度增大迅速减小；γkd＜10-3或γkd＞10时,一阶模态阻尼比不随阻尼器刚度增大而改变.从结构模态阻尼比角度考虑,阻尼器刚度无量纲参数γkd宜小于10-3.

3.2 阻尼器阻尼参数对结构频率、模态阻尼的影响

阻尼器阻尼参数γcd对结构频率及模态阻尼比如图4～5所示.由图可知,阻尼参数γcd＜0.01时,结构频率基本不发生变化；γcd＞0.01后,结构频率快速增大,随着阻尼参数继续增大,结构频率曲线趋于平缓.随着阻尼参数γcd的增大,模态阻尼比先迅速地增加到最大值,之后随着γcd增大逐渐减小.相邻两结构基频之比越大,结构模态阻尼比值越大,表明相邻结构之间动力特性差异性越大,阻尼器为连体结构体系提供的附加阻尼比越大.ωA/ωB等于0.3,0.5,0.8时,结构一阶附加阻尼比值分别达到6.8%,12.6%,14.7%,对应的最优阻尼参数γcd分别为0.11,0.09,0.04.

4 结构随机地震响应分析

以结构频率ωA/ωB等于0.8为例进行结构随机地震响应分析,求解结构振动能量.地震加速度白噪声模型参数为:ωg=15 rad/s,ξg=0.65,S0=4.65×10-4m2/(rad·s3).阻尼器刚度及阻尼参数对结构A、B以及结构总振动能量的影响如图6～7所示.

当γkd＞10-3后,结构A(较柔结构)振动能量随阻尼器刚度增大逐渐增大,结构B振动能量先减小后增大,而两结构总振动能量逐渐增大.结构A、B振动能量及结构总振动能量随阻尼参数γcd增大,先减小后增大,当γcd=0.04时,结构振动能量达到最优.通过振动能量最优确定的最优阻尼器参数与模态阻尼比最大所对应的阻尼器最优参数一致.根据阻尼器无量纲最优参数求得阻尼器最优刚度kd为105N/m,最优阻尼cd为2×106N·s/m.

选取最优阻尼器参数计算结构随机地震响应,结构楼层位移以及加速度标准差如图8～9所示.由图可知,相邻结构间设置阻尼器可有效地减小结构位移与加速度响应.结构A顶层位移标准差由15.8 mm减小至9.3 mm,降低41%；结构B 顶层位移标准差由11.9 mm 减小至7.8 mm,降低34%.结构A 顶层加速度标准差由0.97 m/s2减小至0.61 m/s2,减小37%；结构B顶层加速度标准差由0.87 m/s2减小至0.61 m/s2,减小30%.

5 结论

本文采用分布参数模型,基于复模态理论分析阻尼器参数对相邻结构的动力特性、地震响应及结构振动能量的影响,提出基于总能量最小的减震目标选取最优阻尼器参数,结论如下:

1)阻尼器的设置使得原本独立的两结构相互耦联,随着阻尼器刚度的增大,耦联程度越大.相邻结构中,“较柔”的结构振动较为剧烈,随着耦联程度的增加,“较刚”的结构逐渐参与振动.

2)相邻结构之间设置阻尼器为结构提供了附加阻尼比.存在一个最优的阻尼参数γcd使得结构附加模态阻尼比最大；超过最优参数,结构附加模态阻尼比反而减小.

3)结构附加阻尼比随其动力特性差异增大而显著变化,结构基频之比ωA/ωB越大,结构获得的附加阻尼比值越大.ωA/ωB分别为0.3,0.5,0.8时,结构一阶附加阻尼比值分别达到6.8%,12.6%,14.7%.

4)合理选取阻尼参数使得连体结构总振动能量显著地减小,基于结构总能量最小确定最优阻尼器参数,可以作为相邻结构减震初步参数设计的依据.