数学+：数学深度学习的有效载体

佘路祥

所谓“数学+”，即围绕某个主题将小学数学学科内外相关联的内容进行跨界整合，构造学习内容的交叉地带，推进融通创生，以问题解决为目的，以提升数学素养为追求，引领学生开展深度学习的一种数学学习思维载体。

毕达哥拉斯学派认为“在一切平面图形中，圆是最美的”，“圆的认识”这节课可用“寻美”作主线，从外形美、内在美、构造美、应用美四个方面对圆展开研究，通过“数学+生活”“数学+实践”“数学+语文”“数学+审美”等形式，改变学习方式，丰富学习体验，引领学生经历一段充满张力的思维旅程。其教学过程如下。

一、观察比较，感受圆的外形美

师：（出示生活中的圆）这些物体上有圆吗？生活中你还在哪里见到过圆？看到圆，你有什么感受？古希腊数学家曾说：在一切平面图形中，圆是最美的。（出示常见平面图形）这些是我们已经认识的平面图形，和它们相比，你觉得圆究竟美在哪里？

生1：圆没有角，其他图形有角。

生2：圆的线条很柔和，它的边是一条弯曲的线，其他图形的边都是直的线段。

生3：圆非常饱满，象征着圆满。

……

师：同学们观察得很仔细，圆是一种曲线图形，柔和、饱满、匀称，圆的外形确实很美。

设计意图：“数学+生活”引发学生对“圆是最美的”探究欲望，通过与其他平面图形进行对比，初步感知圆的外形美，从寻美的角度为新课展开做好铺垫。

二、操作思考，体验圆的内在美

1.操作

师：圆的外形为什么这样美呢？让我们一起走进圆的内部，探索其中的秘密。请拿出圆形纸片，沿不同的方向对折，你有什么发现？

生1：我发现圆对折后能完全重合，它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。

生2：我发现这些折痕的长度都相等。

生3：这些折痕都相交于一个点。

生4：每条折痕的两个端点到圆中心的长度是相等的。

师：真了不起！发现了这么多秘密！这些折痕所在的线段是圆的直径，用字母d表示，这些直径相交的点是圆心，用字母O表示，从圆心到圆上任意一点的线段是半径，用字母r表示。

2.思考

师：一个圆的直径和半径分别有多少条？它们之间有怎样的关系呢？

生1：沿任意方向对折都能折出一条直径，所以直径有无数条，半径是直径的一半，半径也有无数条。

生2：我测量后发现这个圆的直径都相等，半径也相等。

师：古人把圆的这个特征叫作“一中同长”。你能理解这四个字的含义吗？

生1：“一中”就是一个中心，也就是一个圆心，“同长”就是半径都一样长。

生2：“同长”除了表示半径相等，也可以表示直径相等。

师：因为有了“一中同长”的特征，使得无数个离圆心距离相等的点汇聚成了一条完美的曲线，这样一来圆的外形还能不美吗？

设计意图：通过观察、操作、推理等活动，引导学生自主发现圆的特征，并归纳得出“一中同长”的本质属性。“数学+操作”顺应了学生探索图形特征的认知方式，走出了先用圆规画圆再探索“一中同长”特征，导致出现循环论证、虚假发现的教学误区。

3.延伸

师：（出示图1）这个圆内画了4条线段，哪条线段最长？

生：直径最长。

师：你是怎么知道的？

生：我是看出来的，也可以量一量。

师：观察、测量可以知道结果，其实推理也能帮我们进行判断。从圆心画两条半径和④号线段构成一个三角形，有没有受到什么启发？继续观察，和③号线段也构成一个三角形（见图2）。有什么想说的？

生1：因为三角形两边之和大于第三边，这两条半径的和大于③号线段的长。

生2：两条半径拉直了就是一条直径，所以直径比其他线段都要长。

师：由此可见，连接圆上两点的线段中，直径最长。

设计意图：探究圆上最长线段时，淡化了传统的用直尺固定一点，旋转比对的方法，从圆跨界到三角形，借助三角形的三边关系进行推理，学科内部纵向联通，凸显数学内在的逻辑演绎，引领学生进行深度学习。

三、探究作图，体会圆的构造美

1.启发

师：如果我们要画一个圆，运用什么工具才能画出具有“一中同长”特征的圆呢？

生1：用圓规来画圆。

生2：先把圆规的两只脚叉开，然后把针尖固定在纸上，捏住手柄旋转一周就能画一个圆。

师：能说说理由吗？

生3：圆规针尖对应的点就是圆心，两只脚之间的距离就是圆的半径，满足“一中同长”的特征。

师：除了用上面的方法，我们可不可以创造一个工具来画圆呢？

生4：把直尺的一端固定，另一端装上笔，旋转一周就可以画一个圆。

生5：把棉绳的一端固定，然后拉直，另一端套上铅笔旋转一周就能画圆。

生6：握紧两支笔，一支笔的笔尖固定做圆心，另一支笔转一圈就行了。

师：真不简单，想到这么多种方法，这些方法是不是都能成功画圆呢？每人选择一种方式，尝试画一个圆。

2.交流

师：我们用不同的方法画圆时，分别要注意什么呢？

生1：用圆规画圆时两脚之间的距离不能变化。

生2：用棉绳画圆时，固定的一端一定不能动，画的过程中绳子要拉紧，不能松，不然就做不到“一中同长”，也就画不成圆了。

3.内化

师：如果把棉绳换成皮筋，也能画圆吗？谁来试一试。

生：皮筋有弹性，画圆时长度会变化。

师：看来要想成功画圆，必须满足“一中同长”的特性。

设计意图：学生提出用圆规或圆形物体可以画圆后，要求学生创造一种画圆的工具，让“数学+实践”打开学生思维，画圆不一定用圆规，感悟不同画法之间的共同属性。而后让学生用有弹性的皮筋画圆，一番努力之后不能成功，在对比冲突中感受画圆时定点和定长的必要性，深刻感悟圆的构造之美。

四、实例分析，理解圆的应用美

1.研究

圆在生活中有着广泛的应用，各种车轮，很多盖子都设计成圆形，这是为什么呢？请学生拿出车轮模型和奶粉罐，开始研究。

2.交流

师：哪一组来汇报车轮的研究结果？

生1：车轮设计成圆形，滚动时摩擦力比较小，所以滚得快。

生2：我发现车轴安装在圆心，车轮转动时车轴与地面的距离相等，从而比较平稳。

师：车轮设计成圆形应用了圆的什么特征呢？

生：圆心到地面的距离就是圆的半径，用了同一个圆的半径都相等的特征。

师：奶粉罐的盖子为什么设计成圆形呢？

生1：圆没有棱角，不容易伤到小朋友。

生2：不管从哪个角度，都能很容易把盖子盖上去。

师：這又是应用了圆的什么特征呢？

生1：直径是圆上最长的线段。

生2：同一个圆的直径都相等。

设计意图：能用数学知识解释生活现象是学习数学的理想境界，选择车轮和盖子两种素材，放手让学生去研究为什么设计成圆形，“数学+实践”培养了学生应用数学的能力。学生的回答不全是数学角度的，借助课件演示，很快就能悟出其中蕴含的数学原理，上升到圆的应用之美，对接生活，实现跨界。

五、总结提升

1.回顾并拓展

（课件依次出示风旋涡、水旋涡、树干截面、鸟窝）圆是美的图形，美在外形、美在内在、美在构造、美在应用，圆的美风知道、水知道、树知道、鸟儿也知道。（课件依次出现和圆有关的词语、诗句、名言、数学思想）圆的美还在于思美、言美、诗美……圆的美还期待着同学们去探索、去发现！

2.延伸

出示实践作业：（1）测量一棵大树的直径。（2）做一个尺规可以画大小不同的圆。

设计意图：课尾从数学上的圆到自然现象中的圆再到文学作品中的圆，“数学+自然”“数学+语文”“数学+审美”，引领学生打破学科壁垒，从数学之外观察圆，感悟圆的美，再回到圆出于方、化圆为方等数学思想。实践作业以期学生学以致用，带着问题离开课堂，去追寻更美的境界。

“数学+”作为数学深度学习的有效载体，正是通过跨界整合、融通创生，重组学习材料，优化学习资源，改变学习方式，向宽处行，促深处思，使数学学习不再停留于各种具体的知识和技能，注重通过数学学会思维，帮助学生学会学习，成为学习的主人，为学生的终身成长奠基。

（作者单位：江苏省如皋师范学校附属小学）

责任编辑：肖佳晓

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