箱梁底板孔洞处拉压波散射作用下动应力集中的解析解

杨旭姣，马迎瑞，王显利

(北华大学土木与交通学院，吉林 吉林 132013)

混凝土箱梁应用广泛，由于施工工艺或维修加固的需要，会在箱梁底板上人为开设大量孔洞.当地震发生时，因受持续波动力影响，箱梁底板孔洞处会产生动应力集中现象，进而影响箱梁结构的整体安全.对于箱梁孔洞问题，国内外学者已有研究：冯志新[1]研究了任意型孔静应力集中问题，并给出复变函数法的解析方法；何志刚等[2]基于变分原理研究了箱梁开裂前后的剪力滞效应，结果表明，配筋率的最大影响位置在初始开裂截面，且在均布荷载作用下开裂区段越长影响越大；朱静秋[3]用有限元分析了箱梁底板开孔对底板受力性能的影响；常立峰[4]运用反应谱分析法研究了在强震作用下箱梁桥的横、纵向受力情况，分析了箱梁桥的破坏机制，并给出了数值模拟结果；WU Y D[5]运用非线性时程分析法，通过建立概率地震需求模型，利用一阶定界法对桥梁体系的脆性进行了评价，得出了在地震作用下，桥梁体系比任何构件都更加脆弱的结论；胡超[6]、LEI Z等[7]提出了厚板拉压振动基础理论方程并给出了解析解，分析了不同参数对动应力集中的影响；HUANG H[8]提出了一种建筑模型更新方法，量化相关参数，优化遗传算法，使得桥梁评估更加准确.以上学者研究了箱梁开裂时不同的受力情况以及破坏机制，但均未考虑箱梁遭受持续波动力时，孔洞造成的拉压波散射对动应力集中的影响.本文基于拉压振动方程，以含孔箱梁底板为研究对象，在复变函数法和保角映射法的基础上，配以局部坐标系法，研究拉压波散射作用下的孔域动应力集中问题.本文的研究结果可为连续箱型梁桥设计和维修加固提供理论依据.

1 拉压波动方程及其解析

为更好地分析拉压波散射对动应力集中的影响，需要先建立拉压波动基本方程，随后进行数值模拟，得出动应力集中问题的解析解.取含孔箱梁底板为研究单元，以拉压振动方程[6]为基础，控制方程为

(1)

为了更好地研究板结构拉压振动的频散关系，保留各元素的一般性，研究该问题的谐和振动解.设广义位移函数分别为

(2)

式中：ω为拉压振动的圆频率；i为虚数单位；t为时间因子.

将式(2)代入式(1)并省略广义位移函数的符号～和时间因子t，可以得到

(3)

式中：αj(j=1，2)是弹性波波数，满足方程

(4)

(5)

应用保角映射法，将ζ平面上孔洞边界L的外域映射成η平面上边界S的单位圆外域.整理后可表达为

ζ=Ω(η)=cη+Φ(η)

，

(6)

式中：Φ(η)为全纯函数.

将式(6)写成在极坐标系(r，β)内的方程形式，整理后可表达为

Nr+Nβ=Nx+Ny，
Nβ-Nr+2iNrβ=(Ny-Nx+2iNxy)exp(2iβ) ，
MQr-iMQβ=(MQx-iMQy)exp(iβ).

(7)

于是，在η=ρexp(iθ)平面上式(7)可写成

(8)

根据式(8)，可以导出η平面上平板中广义内力的表达式为

(9)

2 拉压波散射总波场

假设在箱梁底板中有一拉压弹性波沿x轴正向入射，其表达式为

E(i)=E0eiα1xF(i)=δ1E(i)f(i)=0

，

(10)

式中：E0是入射波沿x轴方向广义位移的幅值.

拉压弹性波的总波场表达式是由入射场和散射场叠加后得出的，对于箱梁底板含多个任意形孔的情况，总波场方程可表达为

(11)

式中：j代表第j个开孔.

3 边界条件与模式系数

设箱梁底板拉压振动时孔洞在η平面上是自由边界，平板理论[6]可以满足以下6个边界条件：

(12)

式中：m=1，2；a是孔的半径.

(13)

在方程(13)的两端都乘以e-isθ，可得无穷代数方程组

(14)

其中，边界处入射波的表达式为

(15)

第j个孔洞边界处散射波的表达式为

(16)

动应力集中系数表达式

(17)

与以往只考虑0到t短时间内冲击荷载和有限元方法的数值模拟不同，本文是在明确提出动弹性状态下得出的完备解.

4 数值算例

取n=10，泊松比ν=0.3，孔径与板厚比a/h=0.1～5.0，无量纲波数α1a=0.1～5.0.动应力集中系数沿孔边的分布情况见图1～6，图中上半部分是t=0时动应力集中系数沿孔边的数值分布，下半部是t=T/4时动应力集中系数沿孔边的数值分布.图7是动应力集中系数受入射波波数影响的变化曲线.

图1底板孔边动应力分布(α1a=0.1,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.1Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=0.1,L/a=2.1)图2底板孔边动应力分布(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)Fig.2Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)图3底板孔边动应力分布(α1a=1.0,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.3Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=1.0,a/h=0.1,L/a=2.1)图4底板孔边动应力分布(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=2.1)Fig.4Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=2.1)图5底板孔边动应力分布(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)Fig.5Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=0.1,a/h=5.0,L/a=4.0)图6底板孔边动应力分布(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=4.0)Fig.6Dynamic stress distribution of bottom hole(α1a=5.0,a/h=0.1,L/a=4.0)

对比图1和图2可以明显看出：当α1a=0.1时，动应力集中系数较为稳定，在θ=π/2方向上出现最大值，且数值分布关于θ=π/2大致对称.对比图1和图3可知：当a/h=0.1，L/a=2.1时，α1a增大，动应力集中系数分布逐渐变化，最大值仍在θ=π/2方向上，但在θ=-2π/3方向上出现了负应力.对比图2和图5可知：当a/h=5.0，L/a=4.0时，α1a值增大，动应力集中系数分布逐渐变化，最大值仍在θ=π/2方向上，但在θ=-2π/3和θ=π方向上都出现了负应力.对比图3和图4可知：a/h、L/a不变，α1a依旧增大，动应力集中系数分布呈现不规则变化，多方向出现负应力，对构件稳定性影响极大.对比图4和图6可知：α1a值较大，a/h却较小，动应力集中系数变化波动依旧强烈.

由图7可见：在入射波波数和孔径与板厚比较小时，动应力集中系数最大值为3.3.当入射波波数和孔径与板厚之比逐渐增大时，动应力集中系数波动也随之加剧，最终趋近于1.

5 结 论

本文基于拉压振动精确化方程，采用复变函数法、保角映射法和局部坐标系法，导出了箱梁底板的拉压波动方程，给出了孔洞处动应力集中系数的解析解.结合算例分析了入射波波数、孔径与板厚之比和孔间距对动应力集中系数的影响情况，得出以下结论：随着入射波波数的不断增大，动应力集中系数呈现无规则分布.当入射波波数逐渐增大到某一定值时，动应力集中系数经过波动后最终趋近于单位1；孔径与板厚比过大或过小对动应力集中系数都有影响，加剧了数值波动，出现负应力；孔洞间距的变化使得动应力分布发生复杂变化，当孔间距与孔径比小于2.1时动应力集中系数变化更加剧烈.

本次研究结果可为箱型梁桥设计施工、维修加固决策提供理论依据，在应力集中区域采取补强措施可维持地震作用下的结构安全.因箱型梁桥的受力影响因素种类繁多，在后续研究中将会继续考虑其他因素进行综合分析.