三种特殊行列式及其推广型的计算方法

李雅雯 刘彩云

【摘 要】本文分析了爪型行列式、两三角形行列式和范德蒙德型行列式这三种行列式的特点，并通过对典型例题的求解分析，更加直观地介绍了这三种特殊行列式及其推广型行列式的一般计算方法。

【关键词】爪型行列式;两三角形行列式;范德蒙德行列式;三角形法;加边法;拆项法

行列式的计算是高等代数的基石和入门学习的难点。数学问题的开展、证明和研究过程都涉及行列式的计算。阶行列式的样式各不相同，其计算方法也灵活多变。本文主要讨论三种特殊的行列式及其推广型的计算方法，并通过具体例题诠释计算要领。

1   爪型行列式

1.1  爪型行列式的特点及其计算方法

爪型行列式的特点是行列式中的非零元素排列形如“爪”字形，即除了第1行（列）或第行（列）及主（次）对角线上的元素外，其他元素均为0[1-2]。对于爪型行列式，可以利用主对角线元素或次对角线元素将一条边消为零，使其化为上（下）三角形行列式。如

1.2  可化为爪型的行列式的计算

一些行列式虽然不是爪型行列式，但除了主对角线元素外，每一行元素或者每一列元素均相同，此时应采用加边法[3]，将阶行列式化为阶，再通过行列变换转化成爪型行列式。如阶行列式，即根据行列式的特点，给加边，将第1列加边后的-1倍加到后面的每一列，将化成爪型行列式，再运用爪型行列式的计算方法即可。

2   两三角形行列式

两三角形行列式的特点是对角线上方的元素都相同，对角线下方的元素都相同。当上、下三角形元素均相同时，该行列式与爪型行列式的推广型具有相同的特点，因此，可采用加边法将其化为爪型行列式进行计算。当上、下三角形元素不相同时，需使用拆项法[4]，即将行列式的某一行或者某一列的所有元素写成2个数的和，将该行列式拆分成2个行列式和的形式。运用拆项法时，一般是将行列式拆成有某一行元素完全相同或者某一行除一个元素之外全为零的形式，目的是便于得到递推关系，进而计算行列式的值。

将第1行乘以，第1列乘以，就能将主对角线以上的元素化成，对角线以下的元素化成，从而将该行列式转化成两三角形行列式的第2种情况。

3   范德蒙德型行列式

3.1  范德蒙德型行列式的特点及其计算方法

如果行列式的每一项为两个元素积的形式，且每一项均为次幂，每个元素的方幂逐行（列）递减（增），此时直接运用行列式的性质将其化为范德蒙德型行列式。

该行列式每一行按的方幂递减，将第行除以就可将该行列式转化成范德蒙德型行列式。

若行列式的元素方幂逐行递减，但不连续，存在间断的方幂，则可通过补全缺少的方幂行的方式，构造成范德蒙德型行列式;也可通过拉普拉斯展开，获得新行列式与原行列式的关系，进而求出原行列式的值。如阶行列式不是范德蒙行列式的标准形式，但它与标准形式比较相似，缺少方幂为的行，因此可以在补上这一行后利用范德蒙德型行列式的性质计算，具体如下。

将按照最后一列展开可得：。因此的系数为，的系数又可以表示成，因此。

3.2  利用拆項法化为范德蒙德型行列式

面对行列式每一项为2个元素和的形式，且存在元素方幂逐行（列）递减（增），这种情况时，通常运用拆项法，得到2个范德蒙德型行列式，如例1。

观察这道题可以发现，直接拆项无法得出结果，同时还可以发现行列式每一项均含有元素1，因此首先采用加边法，即。

总之，进行行列式计算的关键就在于善于发现元素之间的关系，然后选取合适的方法转换、简化行列式，进而有效计算出阶行列式的值。

【参考文献】

[1]北京大学数学系前代数小组编.高等代数（第四版）.[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]孙忠洋.谈两个特殊行列式在教学中的运用[J].邢台学院学报，2018（2）.

[3]唐天国.试析高等数学行列式计算加边法的应用思路[J].黑河学院学报，2018（6）.

[4]于雪，张秋生.一个行列式的计算技巧[J].数学学习与研究，2013（21）.

[5]杨艳丽，范德蒙行列式及其应用[J].数学学习与研究，2015

【作者简介】

李雅雯（1997～），女，湖北武汉人，长江大学应用数学2019在读研究生。研究方向：大数据分析。

【通讯作者】

刘彩云（1975～），女，湖北潜江人，博士，副教授，硕士研究生导师，主要从事小波分析、重磁数据处理与解释、基础数学的教学与研究工作。