数学核心素养对解数学题的启示
2020-04-12张宪华
【摘 要】本文基于对数学核心素养内在关系的剖析，提出了解数学题的科学方法。同时，针对新版教材的变化，对教材培养学生数学核心素养的意图做了分析，提出了如何利用教材来更好地培养学生解数学题的能力。还结合波利亚的《怎样解题》与当前教材改革的导向，提出了数学核心素养对解数学题的启示，并利用高考题加以分析与示范。
【关健词】高中数学;核心素养;题目分析;解题能力
核心素养的考查是高考的重点，数学核心素养的培养是中学数学教学的目标。本文基于数学核心素养对解数学题的启示，从四个方面进行剖析，提出了独特的见解，以期为中学数学解题教学提供一些启示，为中学生学习提供一些方法。
1 数学核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：学科核心素养是育人核心价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[2]。其中，数学抽象与直观想象是用数学的眼光观察世界，逻辑推理与数学建模是用数学的思维分析世界，数学运算与数据分析是用数学的语言表达世界。数学的核心素养是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的，解数学题是培養数学核心素养的一种重要途径。
2 数学核心素养对解数学题的启示
对于在解题中体现数学核心素养，美国数学家G.波利亚在《怎样解题》中给出了一个表格，笔者分析如下。
（1）阅读题目，寻找解题信息，通过数学抽象与直观想象理解题目。用数学的眼光观察题目：数清条件的个数，条件与条件之间的关系是什么，条件与求证或求解之间有什么关系，命题者想考查哪一部分的知识，想考查什么能力与素养？这里强调数清条件的个数及理解
背景。
（2）利用逻辑推理与数学建模思维寻找解决方案，找出已知量与未知量之间的联系。波利亚的《怎样解题》建议，如果找不到直接的联系，可以考虑辅助题目，最终得到一个解题方案。用数学的思维分析题目的解决方案：这个题目用到了什么知识，类似题目是用什么样的方法解决的？根据条件的特征或是式子的特征，可以选择哪种方法解题？可以分哪些步骤把问题解出来？这里强调分析数学式子或知识的结构。
（3）利用运算与数据分析，执行解决方案。用数学的语言表达解题过程：利用选择的方案去解题，通过运算和数据分析表达解题过程，这个过程中如果遇到困难，就需要重新选择并制定方案。这里强调条件的等价转化与条件使用的顺序。
（4）利用逻辑推理与数学建模检验结果。用数学的思维检验结果的正确性：可以通过特值排除、验证、建立模型等方法检验结果或论证[1]。这里强调结果在问题中的核心作用。
3 通过高考题剖析基于数学核心素养的解题
例1 已知函数，为的导数。证明：①在区间存在唯一极大值点;②有且仅有2个零点。
步骤一：阅读题目，寻找解题信息，通过数学抽象与直观想象理解题目。
这个题目是考导数的应用。函数导数的极值问题中，先要函数导数等于0有根，还要在根的两侧附近异号;关于函数的零点问题，有零点的存在性定理。
步骤二：利用逻辑推理与数学建模寻找解决方案，找出已知量与未知量之间的联系。
（1）要证明函数在存在唯一极大值点，只需证其导数在单调递减，且在该区间内有唯一的零点。
（2）由于函数中有正弦函数，正弦函数有周期性，而第一问所给的区间是，所以结合五点法做图时要用到五点的横坐标，分区间研究的零点。
步骤四：利用逻辑推理与数学建模检验结果。
（1）分析所用知识和定理的正确性：本题考查函数导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题。解决零点问题的关键，一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明区间内零点的唯一性，二者缺一不可。
（2）检验运算的结果正确，步骤合理。
例2 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此（如下图所示）。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）。
A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm
步骤一：阅读题目，寻找解题信息，通过数学抽象与直观想象理解题目。
该题以“断臂维纳斯”为背景，渗透了数学之美与数学的应用。将人体抽象为线段，黄金分割比例就是把线段分为固定的比例。题目中两次提到黄金分割，即有四条线段。
步骤二：利用逻辑推理与数学建模寻找解决方案，找出已知数据与未知量之间的联系。
设头顶处为点A、咽喉处为点B、脖子下端处为点C、肚脐处为点D、腿根处为点E、足底处为F，则可利用比例的知识求线段AF的长。
步骤三：利用数学的运算与数据分析执行解决方案。
根据腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm可得AB
所以169.6<<178.08，故选B。
从解题的角度去体验数学素养的作用，为数学的教学提供了方向。当前的数学教学突出了问题的分析、用数学语言表达解题过程、检验解题结果，而对“用数学的眼光理解知识与问题”做得还不够。所以有时会出现题讲过了，学生听明白了，但仍不会独立解决问题的情况。在2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的普通高中教科书中，每节的正文中都增加了很多的思考与探究，还设置了习题的复习巩固、综合运用、拓展探索等栏目，有些章节还穿插了阅读与思考的内容[3]。这些都是编者为用数学的眼光理解知识与问题提供的素材，也是为培养数学素养提供的材料。教师只有理解数学素养的内在联系，理解教材编者的意图，才能在教学中培养学生的数学素养。有了良好的数学素养，学生就能在做题时水到渠成地找到解题方法。
【参考文献】
[1]G·波利亚著;涂泓，冯承天，译.怎么解题——数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.
[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[3]人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心编著.普通高中教科书（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.
【作者简介】
张宪华，中学高级教师，沂蒙名师，临沂市教学能手。
