八元数乘方的展开

王丹

【摘 要】在了解八元数前，需先了解科幻电影中常常提到的“维度”问题，从一维开始讲起，通俗而言，一维就是所谓的“点”，以数学方程来进行解释，可以将其定义为（均为常数）;而二维则是由无数一维“直线”组成，通俗而言，二维应当是一个平面，而三维则是由无数二维“平面”构成。而自广义来进行定论，八元数则代表着八维空间。在人类发现八元数的一百七十年内，逐渐发现了八元数不仅能够应用于非对称张量规范场理论之中，还可用于构建八元数离散神经网络模型与解决古老的球堆积问题。而在对八元数进行教学时，由于其本身概念较为抽象，教师可结合维度概念辅助教学。

【关键词】八元数;乘方展开;维度;数学

在二维领域内，人们可以轻松地利用长与宽计算出一个正方形的面积，而在三维领域内，人们也可以利用对正方体的拆解，将正方体拆解为“底面积”与“高”进行乘法计算。不难发现，在计算正方体体积时，人们正是将三维空间拆解为了二维（底面积）与一维（高）两种计算因素，从而实现了对三维图形的计算。在数学领域内，三维以上的四维、五维……八维图形，也可以利用拆解的方式进行计算，最终达到对八元数乘方进行计算的效果。在目前的数学与物理教学领域，八元数虽然应用较少，但它提供了一种广义上的、强大的数学结构。且八元数本身性质十分独特，其不仅包括四元数、复数与实数数学，本身也存在独特的数学性质。科技的高速发展与数理模型、工具的发展不可分离，而八元数本身便是一种复杂的数字系统，借助八元数进行教学，可有效提高学习者的数学模型构建能力。因此八元数应当作为今数学教学与发展的新目标领域进行探究与学习。

1   维度在数学领域内的表示方法

在数学领域内，常常会使用矩阵来表示[1]。以立方体进行举例，如下图。

由推论中囊括的递推关系组可得到，。将主对角线上换成，中其它元素与相乘可以得到，因此可由定理2得出八元数乘方的展开式。

目前，八元数的奥秘尚未被完全参透，剑桥大学曾有一位名为科尔·福瑞的女科学家提出八元数与中国的八卦属于同构关系。除该理论外，在八元数概念出现后的170多年里，数理领域还没有与之对应的理论出现。但是随着人类数学水平的提高，众多数学家已经认识到了八元数的重要性。或许八元数的发展未来能够带领人类进入更加广阔的世界——万有理论世界。因此，八元数的教学对数学的发展有重大意义。

【参考文献】

[1]龚定东.八元数闭逐块光滑流形上的奇异积分[J].厦门大学学报（自然科学版），2019（6）.

[2]王振彬.一类特殊方阵在八元数中的应用[J].阴山学刊（自然科学版），2017（1）.

[3]李鑫，王海燕.八元数中算子之间的关系及应用——Almansi分解[J].数学的实践与认识，2016（4）.

[4]周玉興，黄宗文.关于一类四元数及八元数方程解的显式表示[J].西华大学学报（自然科学版），2015（1）.