极限思想在微积分教学中的重要性

【摘 要】极限思想渗透于微积分各个环节之中，是微积分理论形成的重要基础。因此，微积分的教学必然要在学生充分理解极限思想的基础上进行，教师要擅于利用极限思想帮助学生理解微积分的相关理论知识。本文主要介绍了极限思想的具体内涵、经典数学概念中蕴含的极限思想等，进一步阐述了极限思想的重要价值，希望能引起教师的重视，用好这个工具，为学生实现数学能力的提升打牢思想根基。

【关键词】极限思想;微积分教学;经典概念

微积分以函数为研究对象，主要介绍微分和积分的概念、计算方法以及导数和微分的应用等。而这些内容都是建立在极限概念基础上的，没有极限思想做铺垫，就不会有整个微积分大厦。为了进一步体现极限思想的重要意义，本文介绍了极限思想的具體内涵、经典概念蕴含的思想方法，还从三个层面分析了极限思想的价值体现，希望对明确极限思想的重要意义有所帮助。

1   极限思想的内涵

在近代，极限思想应运而生，在一定程度上，它是历史发展的必然产物。作为一种分析问题、解决问题的思想方法，极限思想主要被用来求未知量的精确值问题。先确定未知量的近似值，且该近似值是一连串越来越准确的近似值，它最终无限趋近于一个确定的值，这个精确值就是所要求的值[1]。它反映的是一个变量和另一个常量之间的无限接近的过程，在一定程度上揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，同时也是唯物辩证法在数学学科中的体现。

2   经典概念中蕴含的极限思想

微积分学包括微分学和积分学，概括说来，微分就是无限地细分，积分就是无限地累加求和。其中“无限”就是极限思想的体现，具体到知识点，函数连续性、导数和定积分等概念都是借助极限思想来定义的。

2.1  连续概念中渗透的极限思想

自然界中有许多反映“连续”的现象，表现在函数关系上就是函数的连续性。简单地说，如果一个函数图象可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。可是数学上如何来定义呢？无论从连续函数图象的特征还是从函数连续的本质出发都离不开极限思想这个工具。连续的本质反映的是当自变量的增加很微小时，所带来的函数值的增加也很微小，而能恰当描述这一动态过程的语言就是极限思想。可见，函数的连续性是借助极限思想来定义的，用极限思想描述的连续概念才完美。

2.2  导数概念中渗透的极限思想

导数最初是由数学家费马在研究极值问题时引入的，而关于导数产生的最经典的两个案例则分别由数学家牛顿和莱布尼茨提出。牛顿从运动学的角度出发，研究了变速直线运动的瞬时速度;莱布尼茨从几何学的角度研究了曲线的切线斜率。尽管这两个问题的实际意义和背景不同，但它们都归结为增量比的极限，而这种特殊形式的极限就被定义为“导数”。可见，极限思想是导数概念的点睛之笔，是导数概念的核心所在。在教学中，教师要注重让学生从极限的角度理解导数概念，使导数的概念变得浅显易懂。

2.3  积分概念中渗透的极限思想

定积分的雏形可以追溯到古希腊人阿基米德的“穷竭法”、我国的刘徽“割圆术”，其发展中涉及两个经典案例，一是求变速直线运动的路程，二是求曲边梯形的面积，它们都采用了分割取近似、求和取极限的步骤完成计算，尽管实际意义不同，但解决问题的思想方法却同出一辙。在科学技术和实际生活中，这样的问题还有很多，都可以归结为这种特定和式的极限，在数学上将它定义为定积分。可以看出，求取极限是定积分概念形成至关重要的一步，如果缺少了极限思想，量变始终不会变成质变，最后只能止步于近似，也就没有定积分的产生。而正是由于它采用了极限的思想方法，所以能解决许多初等数学无法解决的问题。因此，在教学中，教师要注重引导学生尝试利用极限思想理解和解决类似问题。

3   极限思想在微积分教学中的价值

3.1  体会定义的简洁，有助于深刻理解思想精髓

数学是一门具有美感的学科，简洁是其主要特征，如定义和定理中凝练语言的表达和抽象符号的使用等，层次清晰，逻辑关系一目了然。对于微积分这门学科同样如此，极限定义就是非常好的诠释。在专业术语中把极限定义称为“ε-δ”语言，这一语言虽然简短，但它精准描述了极限的概念，将极限的思想全盘托出。在极限教学中，教师要注重引导学生从其形式的简洁凝练上多思考、多体会，这样有助于学生从本质上理解这一思想方法的精髓[2]。

3.2  体会无限逼近的思想方法，有助于提高解决实际问题的能力

学习微积分不仅是学习知识，更是学习其中蕴含的思想方法。极限的思想方法较为抽象，概括来说就是一种无限逼近的思想，是在无限的量变积累过程中最终实现质的飞跃。在教学中，教师要注意多通过具体的例子引导学生体会，使学生在反复的体会练习中，逐渐掌握极限思想方法。充分理解极限思想，在分析问题时就能够在一定程度上化难为易，找到更好的解题方法，在解决类似函数问题、数列问题和定积分等多种数学问题时都会取得事半功倍的效果。

3.3  体会极限蕴含的哲学思想，有助于学生树立正确的价值观

数学与哲学向来是一家，从哲学的角度考量，极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法在数学上的表达形式，反映了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。在教学中，教师要注重引导学生体会其中蕴含的思想方法，并从哲学的角度归纳总结，这也是思政教育隐形渗透的具体体现。大学生正处于价值观形成的关键阶段，因此，教师在教学中要发挥好这一思想对学生树立正确价值观的指导意义，而这一意义不仅体现在具体问题的分析中，更体现在学生对待学习、工作和生活的态度上。

综上所述，极限思想不仅能帮助学生深刻理解微积分学的精髓，提高解决实际问题的能力，还能帮助学生树立正确的价值观。因此，教师不仅要深刻领会极限思想方法在解决问题中的作用，更要体会到它对于学生科学认知世界的指导意义。

【参考文献】

[1]刘秀云.数学教学中数学思想和方法的渗透[J].中国科教创新导刊，2008（21）.

[2]杨军星.极限思想的实际应用分析[J].黔南民族师范学院学报，2009（3）.

【作者简介】

陈兰兰（1983～），女，汉族，安徽蚌埠人，本科，海军士官学校数学教研室讲师。研究方向：数学教育。