考虑产品堕化的生产计划与设备维修集合优化研究

刘勤明，董航宇

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

企业正常运行的前提是能够为社会提供产品或服务，而设备是企业运行的基础，设备的状态决定企业是否有能力提供产品或服务，进而影响企业效益。设备维修与生产计划密切相关，设备维修占用生产资源，过度关注生产又带来设备失效，维修过度又会降低企业生产率。如何平衡二者之间的关系是企业十分关心的问题。

设备维修和生产存在耦合矛盾，因此兼顾设备维修和产品生产，平衡二者的矛盾，开展维修和生产集合计划的优化研究，为企业生产提供有价值的指导，具有较高的研究意义。例如Graves等[1]提出单台设备的生产计划问题，在计划期内进行一次维修，以加权总完工时间最小为目标；Lee 等[2]将文献[1]的研究成果扩展到并行设备问题上，但在计划期内还是只进行一次维修。在制定设备维修计划时，很多研究模型一般假设预防维修可使设备恢复如新，但是由于设备运行受到环境等因素的影响，这一假设与实际情况并不符合。文献[3-4]提出预防维修只是使设备的役龄减少一定值或降低一定比例。文献[5-8]在研究设备维修时，提出预防维修费用和维修效果存在线性关系，以维修费用最小为目标，建立设备维修计划模型。文献[9-10]研究了已知维修计划时，以总完成时间最短为目标，运用动态规划等算法解决生产能力约束下的调度问题。文献[11-13]研究了生产计划和预防维修的集成计划，但是没有考虑可靠度对产品质量的重要影响。文献[14-15]在研究生产调度与设备维护的集成计划时，提出工件堕化因子。蓝天皓等[16]研究运用基于遗传算法的启发式算法求解单机预防维护与生产批量的集合计划。周炳海等[17]研究了基于批量生产模式的混联系统双导向的机会维护问题。但是现有的文献大多都没有区分设备的闲置状态、运行状态对维修计划和生产计划的影响。

本文考虑设备役龄对产品加工工时的影响，引入产品堕化效应。同时考虑设备闲置与生产的不同状态，基于设备的实际生产运行时间研究设备故障，制定维修计划和生产计划，实现生产与维修费用的总费用最低，最后，运用粒子群算法求解生产计划和设备维修计划的集合问题。

1 问题描述

本文的生产计划采用批量生产的策略，维修策略采用基于设备实际运行时间的非固定周期预防维修和故障后小修相结合的维修方式，同时预防维修以及故障小修都会占用设备运行时间，即维修时设备处于停机状态。设备加工产品过程中由于设备役龄增长，存在产品堕化效应[18]，即随着设备的役龄增加而导致产品的加工时间不确定。这种情况是由于设备服役时间越长，设备的性能退化越严重，产品的实际加工时间越长，设备运行时间越长，产品实际加工时间与其开始加工时的设备状态有关。并且，在分析设备故障发生次数时，需区分设备的运行状态和闲置状态，假设闲置状态的设备不会发生故障，采用基于运行时间的故障分析。

本文考虑产品堕化效应和设备实际运行时间，例如，阶段t的生产能力与阶段t-1 的产量有关，阶段t的生产能力又会约束阶段t+1 的生产计划，目标是确定每个阶段的生产批量和预防维修周期，使得整个生产计划周期的总费用期望值最低。

2 模型建立

2.1 符号说明

τ——固定时间长度；

H——给定计划周期长度，H=Nτ，其中N为整数；

i——产品种类，i=1,2,···,p；

dit——每个阶段t（t∈H）对产品i（i∈p）的市场需求；

Cmax——设备在每个生产阶段的最大生产能力；

Lp——预防维修占用的生产时间；

Lr——故障小修占用的生产时间；

f(t)——生产系统的故障概率密度函数；

r(t)——系统的故障率函数；

fit——在时间t生产产品i的生产准备费用；

ρit——在时间t生产单件产品i的变动费用；

hit——在阶段t每件产品i的库存费用；

cp——预防维修的费用；

cr——故障时的小修费用；

ρi——单件产品i的基本加工时间；

ai——单件产品i的实际加工时间；

ji——加工产品i的设备的役龄；

θi——产品i的堕化因子；

Iit——在阶段t的产品i的库存数量；

Wt——故障次数；

Zt——设备实际运行时间。

模型决策变量：

xit——在阶段t生产的产品i的数量；

yit——双值决策变量（产品i是在生产阶段t生产则yit为1，否则为0）；

Ut——双值决策变量（若在生产阶段t进行预防维修，则为1，否则为0）；

T——预防维修周期长度T=kτ。

2.2 数学模型

根据设备故障次数和设备故障率关系，得到设备故障次数为

设备运转过程中对出现的随机故障采取小修策略，根据式（1），可得故障小修总费用为

Ut=1 表示在生产阶段t进行了预防维修，否则不进行预防维修，可得预防维修费用为

基于式（2）和式（3），可得到总维修费为

预防维修使得设备役龄降为0，一个预防维修周期可能包含多个生产阶段，根据Ut判断相邻两个生产阶段的关系，若Ut=1，表示在生产阶段t进行了设备预防维修，设备的实际运行时间与上个生产阶段没有关系，则设备实际运行时间为

若Ut=0，则生产阶段t的生产状态与前一个生产阶段相关，则设备实际运行时间为

基于式（5）和式（6），得到设备累计运行时间为

由于受堕化效应的影响，设备的役龄越来越大，导致产品的实际加工时间越来越长，而产品的实际加工时间与开始加工时设备的状态有关，产品的实际加工时间与设备役龄tr线性相关，则由式（7）得到产品i的实际加工时间

设备的每个生产阶段的生产长度相同，表示为L，预防维修和故障小修会占用一部分生产时间，所以设备实际生产率为

设备故障维修和预防性维修所占时间比例为α，可得

设备的生产时间对应设备的生产能力，设备总的实际可用生产能力为最大生产能力减去预防维修与故障小修所消耗的生产能力。设g为设备最大生产能力，则设备在生产阶段的实际生产能力为

生产计划与预防维修计划的集成优化目的是使总费用最低，总费用包括生产费用和维修费用，即

3 模型求解

将式（1）故障次数表达式代入式（11），将式（1）和（9）代入式（14），结合式（5）～（7），可得

制定生产和预防维修的集成计划，即求出Ut，xit，Iit和yit。运用粒子群算法与启发式算法相结合的解法，可得到预防维修计划和生产计划。

计算步骤如下：

Step 1设定预防维修周期，得到相应的Ut；

Step 2计算得到每个生产阶段产品的实际加工时间；

Step 3运用粒子群算法求解能力约束下的生产计划问题；

Step 4比较生产和维修的总费用，使得费用取得最小值的Ut，xit为最优的生产计划和预防维修的集成计划。

3.1 产品加工时间和生产能力计算

由T=kτ，令k=1,2,···,N，可得到Ut，已知计划周期长度、设备故障率函数、预防维护费用和故障小修费用，则根据式（4）计算得到在计划周期内的设备维修总费用。

已知生产周期T，首先，设定预防维修周期，即获得预防维修费用和预防维修间隔长度，计算求解总费用，求解模型得到故障小修费用和生产费用；其次，分析故障次数与生产能力的互相影响，生产产品数量与生产能力之间的关系，产品的实际加工时间为

在已知生产能力后，可求解生产能力约束下的生产批量。

3.2 改进粒子群算法求解批量生产问题

构建粒子群算法（PSO）求解模型，xit和Iit均为连续整数变量，yit为0,1 决策变量，用变量yit作为构造0,1 的编码粒子，对yit进行编码，根据yit与xit和Iit的相关关系，用yit表达出xit和Iit。

对于多种产品多个周期的粒子，编码表示如下式所示。

Q表示粒子群中的粒子，设表示粒子群中的第h个粒子在进化到第k代的位置值，表示生产计划问题的解，表达式为则第h个粒子在进化到第k代时，第i个产品品种在生产阶段t不生产，否则表示生产。其中表示粒子群中第h个粒子进化到第k代的进化速度。

批量问题的基本求解流程如下：

a.确定参数。

确定种群规模H，和学习参数c1和c2，赋值k=0。

b.初始化。

初始化所有粒子的位置和速度，位置和速度由以下公式随机生成，R(0,1)表示在[0,1]间的随机数。

式中：h=1,2,···,H;i=1,2,···,p;t=1,2,···,T；vmax和vmin表示最大速度和最小速度。

c.计算粒子适应值以及每个粒子和种群经历的最好位置，并更新记忆库。粒子的适应值可由式（27）计算得出，当k＞0时，由式（28）得出每个粒子在进化到第k过程中的最好位置，粒子初始化也就是k=0，=。由式（29）得出粒子群在进化到第k过程中的最好位置GBk，并将其存入种群记忆库中。根据设置的计算条件进行检查，满足条件则终止计算，否则继续计算直到满足条件为止。

式中，M表示无穷大的正数。

d.对适应值差的粒子进行更换。

根据运算设置，从记忆库中选择一定量的粒子替换种群中适应值较差的粒子。

e.更新粒子位置和粒子速度。

根据式（30）使粒子速度在范围之内，式（31）使其结果在0 和1 之间。

初始化k=0，之后令k=k+1，由以下公式计算粒子的位置和速度，然后到步骤c 进行迭代，达到最大循环次数终止。

4 算例分析

假设计划周期长度H=8τ，共8 个生产周期，每个生产周期L的长度为1 个月，每个生产阶段的最大生产能力C（t）=50 个，采用批量生产的策略，计划周期内共生产两种产品，基本加工时间为1。参考文献[14]，两种产品的堕化因子相同，θ1=θ2=R(0,0.003)，R(0,0.003)表示[0,0.003]间随机生成的数，每一次预防维修消耗时间为0.02L，故障后小修时间为0.09L。求满足每个生产阶段t的市场需求dit，不会发生延迟交货或者缺货，假设生产系统的故障概率函数服从威布尔分布，威布尔分布故障率函数为

t＞0，η＞0，λ＞0，对应得到故障概率密度函数为

取形状参数η=2，尺度参数λ=2，得到故障率函数如下：

生产费用与每个阶段t的需求和设备相关参数如表1～3 所示。

表1 生产费用表Tab.1 Production cost

表2 每个生产周期的需求量Tab.2 Demand of each production cycle

表3 设备相关参数表Tab.3 Related paremeters of the equipment

通过VB6.0 编程运算求解，可得到最优生产计划和维修计划的总费用，如表4 所示。

表4 生产计划和维修计划的总费用Tab.4 Total cost of production and maintenance planning

生产计划与维修计划集成计划的优化目标是使总费用最小。首先基于改进粒子群算法求解提出的模型，通过表4 可知最小费用为66 532 元，设备维修费用为17 500 元，生产费用为49 032 元。其次，基于基本粒子群算法求解模型，可得最小费用为80 219 元，设备维修费用为21 820 元，生产费用为58 399 元，并且计算时间长于改进粒子群算法。综合看出改进粒子群算法求解联合优化模型优于粒子群算法求解该模型。

考虑总费用最低，最佳的预防维修计划为1→0→0→1→0→0→1→0，生产计划如表5所示。

表5 最优生产计划Tab.5 Optimal production planning

5 结论

本文以单设备生产系统为研究对象，研究了预防维修计划和生产计划的集合优化，考虑在实际生产中的产品堕化效应，即产品实际加工时间不是确定值，而是与产品基本加工时间和设备役龄相关。随着设备役龄增大，产品所需加工时间增长，这种情况更贴近生产实际。另外在分析设备故障时，区分了设备闲置状态和生产运行状态，只考虑设备在生产时间内可能发生的故障，避免把生产运行状态和闲置状态作为相同的情形进行分析，导致设备维修过度。最后，通过算例分析，说明模型在企业实际生产中的应用，证明模型具有更好的实际价值。未来将研究如何制定能力约束下的维修与多级多资源约束下的生产与维修的集合计划。