数形巧结合 妙解离心率——从2019年高考题中的离心率问题谈起

福建省莆田第二中学 (351131) 蔡海涛

本文系福建省教育科学“十三五”规划课题《深度融合信息技术落实高中数学核心素养的实践研究》(课题编号：FJJKXB18-379).

一、考题分析

图1

评注：法1的求解策略是根据双曲线的性质，从Rt△F1F2B中去寻找基本量的等量关系，为了表示|F1B|、|F2B|，须先求出B点坐标，所以根据已知条件先求出直线F1B的方程，把它与直线F2B方程联立，即可获解.此法思路直接，但运算量偏大.

评注：法2是利用几何图形的特征，通过平行及直角三角形的性质，得到△BOF2为正三角形，从而得到渐近线的斜率，进而求出离心率.通过法1与法2的比较，可以发现，一般地，通过数形结合会使得运算简化.

图2

二、方法提炼

通过以上2019年三道高考题的分析，不难发现求解圆锥曲线的离心率问题一般有两种方法，一种是代数方法，一种是几何方法.

代数方法是根据题目中的等量关系，往往构造出关于a,c的齐次方程，再转化为关于e的方程，然后求e，[2]如：

2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

几何方法一般根据平面几何中相关图形的性质来构造关系，进而建立关于基本量的关系式，然后求得离心率，如：

图3

三、结语

离心率是圆锥曲线的一个重要概念，它是描述圆锥曲线形状特征的一个主要元素，它的变化直接导致曲线类型和形状的变化．求解椭圆、双曲线离心率的问题，往往综合性较强，是圆锥曲线教学中的一个难点．学生常常找不到解决问题的切入点，不懂得如何利用椭圆、双曲线的定义及几何性质，或是结合图形特征，利用平面几何的有关结论来解决问题．在高三的复习中，笔者建议通过圆锥曲线离心率微专题的复习，聚集高考题，归纳通性通法，使学生明确解决离心率问题的解题策略即为从数从形这两个角度来突破.高考题的经典之处在于一道试题往往可以从多个角度来思考获得正确的答案，我们教师在平时的教学中可以高考真题为载体，多鼓励学生发散思维，敢于思考，敢于挑战，从而提升学生的直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养.