一类时标模糊微分方程的可解性

梅倩倩，洪世煌，丁方莉

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近年来，许多学者对时标微分方程进行了大量研究，有多值函数在时间标架上的可微性和时标上的集值方程与模糊方程[1-2]。其中，C.Vasavi等[2]利用Banach压缩原理，给出了时标模糊动力方程解唯一的充分条件。Hong S.H.等[3]研究了一类新的非线性脉冲集值动力方程，即时标上脉冲集值动力方程，并获得了该方程解的存在和稳定性的一些新判据。受以上研究的启发，本文首先定义模糊函数的广义导数，然后采用文献[1]中定义的集值函数的指数二分法，给出了模糊函数的相应概念，并探讨了时标上的脉冲模糊微分方程的可解性。

1 预备知识

时间标架T是实轴R上的一个非空闭子集，定义前跃算子σ∶T→T为：σ(t)=inf{a∈T∶a>t}，后跃算子ρ∶T→T为ρ(t)=sup{τ∈T∶τt，则称t是右散的；如果σ(t)=t，则称t是右稠的(rd)；如果ρ(t)

定义1设Tf为T的所有模糊子集组成的集合，如果u∈Tf满足以下条件，即u∶T→[0,1]且

(1)u是正规的，即存在s0∈T使得u(s0)=1；

(3)u在T上是上半连续的；

则称u为一个模糊数。

注意T⊂Tf。关于模糊集的更多概念见文献[4]。

定义2设集合X,Y∈Tf。如果存在Z∈Tf，使得X=Y+Z，则称Hukuhara差X-HY存在，且X-HY=Z。广义差“-g”定义为

CB(E)表示度量空间(E,d)的有界闭子集全体，在CB(E)上定义Hausdorff距离[5]为

定义3[2]设函数F∶T→Tf，t∈T，如果存在G∈Tf，使对∀ε>0，存在t的邻域UT=(t-δ,t+δ)∩T,(δ>0)，当t+h∈UT,有

其中，μ(t)=σ(t)-t，则称F在t处广义可导。并称G是F在t处的广义导数，记作G(t)=ΔgF(t)。若F在区间I⊂T的每一点处广义可导，则称F在I上广义可导。

2 脉冲模糊微分方程的解

PC1=PC1[T+,Tf]={U∈BC|U在每一个区间(tk-1,tk)上广义可导}

考虑脉冲模糊微分方程

(1)

用eA(t,s)Us表示以下线性齐次模糊方程

(2)

的唯一解U(t,s,Us)，其中初值s∈T+是固定的。∀u,v∈T，如果T=R，则eA(u,v)=eA(u-v)；如果T=Z，且eA(u,v)=(I+A)u-v。其中I是满足正规性的模糊函数，Z是整数集。

(3)

则称方程(2)在时标T上满足指数二分法。

需要以下假设

其中τ,t∈T+。一般来说，对于a,b∈R及U∈Tf，(a-b)U≠aU-gbU。

如果函数F(t)是Δ可微的，且满足FΔ(t)=f(t)，那么f定义在T上的(柯西)积分如下

(4)

(5)

(6)

P1=(I-P)。

通过定义4和文献[1]中的引理11可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

假设，对任意的正常数m，tm≤t≤tm+1，凭借条件(ii)，可得

(11)

将式(11)中的2个不等式带入式(9)和式(10)，可得

(12)

(13)

(14)

其中，tk≠t∈(t0,∞)T+。对于t∈[0,t)T+，通过文献[1]中的引理12可得：

(15)

(16)

(17)

最后，在指数二分法的假设下，线性齐次模糊动力方程ΔgU(t)=A(t)U(t)的零解在T+上是有界的唯一解[6],设U1,U2都是线性脉冲模糊动力方程(4)的解。由式(4)的第1个方程可以推出：

ΔgU1(t)-gA(t)U1(t)=ΔgU2(t)-gA(t)U2(t)=F(t)t≠tk

(18)

3 结束语

本文在时标上给出了模糊微分方程解的唯一性。在证明解的唯一性时，采用指数二分法，并借鉴一类在时标上的脉冲集值微分方程解的存在性的研究方法。但是，本文只研究线性齐次模糊微分方程，相关非线性模糊微分方程解的定性问题有待进一步研究。