李雅普诺夫分支定理的新结果

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(1. 桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林541004；2. 四川省广元市职业高级中学校，四川广元628017)

平面向量场的分支问题是常微分方程定性理论研究中一个十分重要的内容。 对于平面向量场中的分支理论，人们最为关注的是极限环分支，也就是研究当系统的参数发生微小变化时，极限环的产生与消失问题。

数学大师庞加莱曾预言极限环在微分方程定性理论中将扮演“一个重要的角色”。经过100多年的蓬勃发展，它已经成为从事许多学科和尖端技术研究的不可缺少的数学工具，它的思想和技巧已经渗透到数学以及其它许多分支，包括自动控制理论[1-4]、航天技术[5-6]、生物学[7-10]、医学[11-12]、经济学[13-15]等，近期的一些研究成果见文献[16-17]。

目前，Lienard系统极限环的研究已经取得了大量的成果，如张芷芬等[18]极限环的唯一性定理等，更多研究见文献[19-20]。对一般系统极限环的存在性及个数问题还有待于进一步研究。

重述李雅普诺夫分支定理[19]：考虑系统

(1)

其中P与Q是关于(x,y,λ)的解析函数。设参数λ=0时，系统 (1) 以(0, 0)为中心型稳定(不稳定)焦点；参数λ>0且λ→0时，系统 (1) 以(0, 0)为不稳定(稳定)焦点。 则对充分小的λ>0，系统 (1) 在(0, 0)附近至少有一个稳定(不稳定)的极限环。

记系统 (1) 在λ=0时对应的系统为

(2)

本文得到以下结果。

定理1考虑系统 (1)，其中P与Q是关于(x,y,λ)的解析函数。系统 (2) 以(0, 0)为中心型稳定(不稳定)焦点，λm>λm-1>…>λ2>λ1，且满足

参数λ→λi(1≤i≤m)时，系统 (1) 以(0, 0)为不稳定(稳定)焦点，则对充分接近λi的λ，系统 (1)在(0, 0)附近至少有一个稳定(不稳定)的极限环。

注1λ→λi(1≤i≤m)包含λ→(λi)+和λ→(λi)-2个方面，这意味着对系统 (1) 作变换λ=γ+λi时，定理中的条件转化为γ→0+与γ→0-，显然该条件比李雅普诺夫分支定理中的条件λ>0且λ→0稍微弱化一些，这也说明了不能仅仅通过一个简单的变换λ=γ+λi得到定理的结论。

定理2考虑系统 (1)，其中P与Q是关于(x,y,λ)的解析函数。系统(2) 以(0, 0)为中心型稳定(不稳定)焦点，在xoy平面任意有界范围内有关于λ的一致收敛

且当参数λ→+∞时，系统 (1) 以(0, 0)为不稳定(稳定)焦点，则存在M>0，使得当λ>M时，系统 (1) 在(0, 0)附近至少有一个稳定(不稳定)的极限环。

1 定理1的证明

在证明定理1之前，先证明引理1。

引理1考虑系统(1)，其中P与Q是关于(x,y,λ)的解析函数。若系统(2) 以(0, 0)为中心型稳定(不稳定)焦点，λ1>0且满足

参数λ>0且λ→λ1时，系统(1)以(0, 0)为不稳定(稳定)焦点，则对充分接近λ1的λ，系统(1)在(0, 0)附近至少有一个稳定(不稳定)的极限环。

证明因为(0, 0)是系统(2)的中心型平衡点，所以存在可逆线性变换

可将系统(2)化为以下形式

(3)

经过同一个线性变换，系统(1)化为

(4)

对系统(4)证明定理1的结论，这里只证括号外面的结论， 括号内的证明类似。因为(0, 0)是系统(2)的中心型稳定焦点，所以(0, 0)也是系统(4)的中心型稳定焦点，根据判断中心的形式级数法，一定存在函数

F(u,v)=u2+v2+F3(u,v)+…+F2k(u,v)

沿着方程(3)的轨线有

其中o(u,v)表示关于u、v的高于2k次的项之和, 常数C0>0。将上式改写为

(5)

而右端第2项

(6)

总之，当|λ-λ1|<λ0时，在环形区域H内

注2为了证明的完整性, 本文保留了文献[9]中李雅普诺夫分支定理的一部分证明过程；对于定理的括号内的情形可知存在C0<0满足以上表达式。

作为引理1的推广，容易得到定理1的证明，在此略去。

对于参数λ，系统以(0, 0)为平衡点。系统右端函数在(0, 0)处的导算子为

其特征值为

当λ>0且λ→1时，(0, 0)是不稳定焦点。当λ=0时，考虑李雅普诺夫函数F(x,y)=x2+y2。显然有

而x=0或y=0都不是整条轨线，所以(0, 0)是稳定的焦点。由定理1可知，对充分接近1的λ，系统在(0, 0)附近至少有一个稳定的极限环。

推论1已知系统

其中m,ki∈Ν+(1≤i≤m)。则对充分接近j(1≤j≤m)的λ，系统在(0, 0)附近至少有一个稳定极限环。

2 定理2的证明

总之，当λ>M时，在环形区域H内

对于参数λ，系统以(0, 0)为平衡点。系统右端函数在(0, 0)处的导算子为

其特征值为

当λ≫M时，(0,0)是不稳定焦点。当λ=0时，考虑李雅普诺夫函数F(x,y)=x2+y2。显然有

而x=0或y=0都不是整条轨线，所以(0, 0)是稳定的焦点。由定理2可知，对充分大的λ，系统在(0, 0)附近至少有一个稳定的极限环。

3 结论