一种谐振式加速度计的稳定性分析方法

2020-04-07李艳曾浩轩张帅印朱周宇周迅周子强

矿业科学学报 2020年2期

李艳，曾浩轩，张帅印，朱周宇，周迅，周子强

中国矿业大学(北京) 机电与信息工程学院，北京 100083

谐振式加速度计是基于谐振式测量原理、直接输出频率量的加速度传感器，其输出主要取决于谐振敏感结构(2根谐振梁组成)自身的机械谐振状态，几乎不受电路参数变化的影响，无须经过 A/D、V/F转换。因此，相比于现有绝大多数传感器具有性能稳定可靠、精度高、易于计算机匹配的优势，近年来在航空航天及工业电子等领域的导航、制导及传感方面得到广泛关注。

为提高谐振式加速度计性能，研究人员在结构优化[1-5]、加工工艺[6]、封装方法[7-8]、检测装置[9-11]、稳定性分析[12-13]等方面做了大量工作。结构优化一定程度上能提高检测精度，但只是基于结构的参数和形式，并未从敏感机理上深入研究；在加工工艺精度不高的情况下，工艺偏差会加大机械耦合对精度的影响；真空封装有助于品质因数的提高，但同时会增加工艺难度和制作成本，降低器件长期工作稳定性；检测装置通过提高信噪比来提高加速度计性能，但不能从敏感本质上解决问题；现有稳定性分析方法主要针对参数激励条件下陀螺的稳定性，但陀螺振动特性与加速度计完全不同，其稳定性分析方法不适用于加速度计。因此，如何既从敏感本质和源头上实现结构优化又能提高检测精度，是加速度计研究的重要考量。

针对谐振式加速度计的敏感结构，理论振动模型可通过一个等效的单自由度欠阻尼系统描述。实际检测中，由于敏感结构支撑端的约束，使其振动时不能自由变形，导致结构内部附加与振动位移成正比的内应力，造成固有频率随敏感结构振动幅值变化，从而产生振动不稳定的现象。现有谐振式加速度计研究都是基于敏感结构处于稳定振动状态，忽略内、外部综合因素影响的不稳定振动和相关特征信息研究，这将严重影响加速度计的测试精度。

笔者以谐振式加速度计为研究对象，针对敏感结构振动稳定性与结构参数设计问题，深入开展谐振式加速度计敏感结构的振动稳定性研究，建立谐振式加速度计敏感结构振动稳定性与结构参数设计之间的纽带，在满足敏感结构振动稳定性需求下提升检测精度物理实现能力，为我国谐振式加速度计高精度测量技术的研究提供思路。

1 谐振式加速度计工作原理

图1为谐振式加速度计结构简图，主要由敏感结构(包括2根谐振梁)、质量块、杠杆机构、支撑梁构成。其工作原理：加速度计受到一个外界加速度a时，根据牛顿第二定律F=ma，经过质量块产生轴向惯性力，再经由杠杆机构的放大作用，将放大的惯性力作用在谐振梁的轴向端，调制谐振梁的谐振频率，使谐振梁的谐振频率发生变化，频率变化大小与加载的加速度成正比，通过信号拾振单元，可以解调出加载的加速度的大小。

图1 加速度计结构简图Fig.1 Structuraldiagram of a resonant accelerometer

2 加速度计谐振梁的振动模型

由谐振式加速度计的敏感机理可知，其振动特性研究主要集中于敏感结构的振动特性，因此加速度计振动稳定性研究也集中在对谐振梁振动稳定性的分析。

在轴向惯性力作用下，令谐振梁y方向的位移y=w(x，t)，则谐振梁自由振动方程为

(1)

式中，E为弹性模量，Pa；I为梁横截面对中性轴的惯性矩，mm4；F为轴向力，N；ρ为梁密度，kg/m3；A为梁横截面积，m2。

假设谐振梁的振型函数为φ(x)，对应随时间的振动变化规律为q(t)。利用分离变量法解方程(1)，可得

w(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

将式(2)代入式(1)，则有

(3)

式(3)两边都乘以φ，再对x进行积分，由分部积分法以及齐次边界条件，简化可得

(4)

式中，q0为梁的一阶固有频率，Hz。

(5)

其中，加速度计的轴向激励为周期力，即

F(t)=F(t+T)

(6)

式中，T为周期。

3 谐振式加速度计的稳定性分析方法

谐振式加速度计谐振梁振动模型的稳定性区间为一系列离散区间，区间的分布呈现很强的非线性特性。如果加速度计结构参数处于不稳定区间，谐振系统响应会呈现发散状态，导致进入非线性振动状态甚至破坏其自身结构。同时加速度计的工作过程又需要保证恰当的灵敏度，参数的设计应接近稳定区的边界，以保证敏感结构能灵敏反应参数的变化。合理设计谐振式加速度计参数是优化谐振式加速度计设计的首要问题。

3.1 谐振梁振动模型的近似解

利用小参数摄动法，假设谐振梁振动模型的一般近似解为

u(t;ε)=u0(t)+εu1(t)+ε2u2(t)+…

(7)

δ(ε)=δ0+εδ1+ε2δ2+…

(8)

将式(7)和式(8)代入式(5)，并令同次项的系数相等，可得

(9)

(10)

(11)

根据Floquet理论，沿着过渡曲线，谐振梁振动模型的一般解具有周期π或2π，因此式(9)的δ0解写成

u0=a0cos(nt)+b0sin(nt)

(12)

式中，n是非零整数；a0和b0是任意常数。

因为谐振梁振动模型的每一个解都是周期为π或2π的解，所以式(9)中的δ0必须满足

(13)

将式(12)代入式(9)消除式中的长期项，可得

(14)

(15)

由式(14)和式(15)，可得

(16)

通常a0和b0满足

(17)

将式(16)代入式(11)中，可得

(18)

其中，a1和b1是任意常数；NST代表不可能在u2中引起的长期项。且有

(19)

(20)

(21)

若消除u2中的长期项，则有

(22)

(23)

求解δ2需考虑δ1=0和δ1≠0的2种情况。

当δ1=0时，δ1、α1n、β1n都为零，则式(22)和式(23)可简化为

(24)

当δ1≠0时，a1和b1是未知数，系数矩阵的行列式为零，当且仅当满足

(25)

此时，u2才可能有解。与此同时a0和b0不独立，且按照式(17)相互关联，则式(25)可写成

β1n[(2δ1+α1n)y2-β1n]-

(2δ1+α1n)[(2δ1+α1n)y3-β1ny2]=0

(26)

此时求解可得δ2。

3.2 谐振梁的稳定性分析

谐振式加速度计谐振梁轴向端受到周期性的压力或拉力，调制谐振梁的谐振频率，使其变化与周期力成正比，从而可以解调出加载的加速度的大小。此时，假设谐振梁轴向端受到的周期力为余弦函数和三角函数，谐振梁稳定区域的求解方法如下：

(1) 周期力F(t)=F0cosωdt时，令

则谐振梁振动模型式(5)转换成

(27)

由谐振梁振动模型的近似解求解方法，可得模型稳定性区间的过渡曲线方程式为

(28)

周期力为余弦函数时的稳定性曲线如图2所示，图中阴影部分是系统振动不稳定的参数取值区域，其余为系统振动稳定的参数取值区域。

图2 周期力为余弦函数时的稳定性曲线Fig.2 Stability curve of cosine function

(2)周期力F(t)=F(t+2l)，t∈(-∞,+∞)时，一个周期内

对此周期函数进行傅里叶级数展开，则有

(29)

化简式(29)可得

(30)

(31)

由谐振梁振动模型的近似解求解方法，可得模型稳定性区间的过渡曲线方程式为

(32)

周期力为三角函数时的稳定性曲线如图3所示，图中阴影部分为系统振动不稳定的参数取值区域，其余部分为系统振动稳定的参数取值区域。

图3 周期力为三角函数时的稳定性曲线Fig.3 Stability curve of trigonometric function

对于谐振式加速度计敏感结构的动力学模型的解有界或无界、系统振动稳定或不稳定，都取决于模型参数。这种理论要求在参数空间内将系统参数的取值分为稳定性区域和非稳定区域两部分。由稳定性曲线可知，随着参数δ的增加，系统振动稳定的参数取值区域增大。如果结构参数落入不稳定区域即发生参数共振，系统响应呈现发散状态，导致系统进入非线性振动状态甚至破坏结构。因此，在设计谐振式加速度计结构参数时，应保证所设计的参数位于系统振动稳定性的区域。

4 实验

为了验证加速度计稳定性分析方法的可行性，依据以上稳定性分析结论，设计取值与系统振动稳定区域的结构参数见表1，同时对设计的加速度计进行1g静态翻滚实验。

表1 加速度计结构参数

由于重力加速度最容易获得，并能精确测定其大小和方向，具有实验方便和结果准确特点，是各种加速度计性能测试的主要实验之一。本实验加速度计1g翻滚实验的测试范围限制在重力加速度±1g以内。在实验中，将加速度计样件固定在转台上，保持转台至固定角度，加速度计处于不同角度时，测量静态敏感重力加速度分量，由信号采集模块进行数据采集与处理，可得加速度计的静态数学模型及其灵敏度。

进行加速度计翻滚实验时，输入的加速度按正弦规律变化，输出值也相应以正弦规律变化。由于各方面原因，其输出值为一个周期函数，不完全按正弦规律变化，如果将实际输出的周期函数进行傅里叶级数分解，通过傅里叶级数的各项系数可以换算成模型方程式的各项系数。

通常模型方程为

(33)

式中，U为加速度计的输出；K0为偏值；K1为灵敏度；K2为二阶非线性系数；K3为三阶非线性系数。

图4所示为加速度计1g静态翻滚实验现场。由于加工、封装等误差，加速度计的机械零位和电输出零位往往有偏差。将加速度计安装在实验台上，分度头主轴分别在0°和180°附近反复转动，直至找到2个位置θ0和θ0+180°，使得U(θ0)=U(θ0+180°)，将θ0的位置作为加速度计的机械零位。

图4 加速度计1g静态翻滚实验现场Fig.4 Static rolling test in 1 g gravitational field for the accelerometer

图5 加速度计的灵敏度测试曲线Fig.5 Detection sensitivity curve of the accelerometer

理论上，通过测量±1g的2个位置加速度计输出值可得加速度计的线性模型。实际上，为了测量的准确、简便，通常会选择特殊角度进行多点法测量。本实验选取36个位置，即从加速度计的机械零位开始，使其顺时针单向精确地依次转到0°，10°，20°，…，360°，每1个位置在规定时间内记录5个读数，并取其平均值；然后，再逆时针单向精确地依次转到360°，350°，340°，…，0°，同样，每1个位置在规定时间内记录5个读数，并取其平均值。为提高测量精度，测量时每个角度位置停留的时间应相等。重复上述实验4次，得到4次测量平均值作为输出值，并对测试数据进行处理，可得加速度计的模型式(34)，灵敏度曲线如图5所示。