例谈三角法在解题中的应用*

浙江省玉环中学 (317600) 庄 丰

三角法能将问题中的量用某些角的三角函数表示，通过三角函数的运算达到计算和证明的目的，在一定程度上减少问题的技巧性.三角法应用十分广泛，贯穿高中数学的主干知识，下面以浙江省近年来的高考、学考、模考题为例，谈谈三角法在解题中的应用.

1.函数中的应用

例2 若对任意x∈[-1,1]，恒有|4x3-

ax|≤b(a,b∈R)成立，则当b取得最小值时，实数a的值为.

|4x3-3x+(3-a)x|=|4sin3θ-3sinθ+(3-a)sinθ|=|sin3θ+(a-3)sinθ|.当a=3时，|4x3-ax|=|sin3θ|≤1，所以b≥1.

综上所述，b的最小值为1，此时实数a的值为3.

评注:此题可利用导数知识分类讨论或分离变量法解决，但过程较为繁杂.根据题中变量取值范围及函数的结构特征，联想正弦三倍角公式，代换后再结合正弦函数图象与性质求解，解法简洁，抓住问题的本质.

2.数列中的应用

图1

评注：利用三角代换能将无理式变为有理式，得到等比数列后问题迎刃而解.解题时应注意余弦的有界性，导致数列的项也有限制范围.

3.不等式中的应用

例5 (2017年宁波模拟)若6x2+4y2+6xy=1,x,y∈R，则x2-y2的最大值为.

解法2：设x=rcosθ,y=rsinθ,r>0，代入6x2+4y2+6xy=1,得r2=

评注:三角换元是解决不等式问题的常用方法，解题要抓住条件的结构特征，解法1根据平方和的结构引进三角函数解题，解法2由条件和所求式都是齐二次，引入参数r，再消去r转化为齐二次型三角函数问题解决.

4.平面向量中的应用

评注:坐标法是解决平面向量数量积的常用方法，此题建系利用圆的参数方程，引入两个角度变量后，应将其中一个变量当作主元，利用三角恒等变换处理.

图2

5.立体几何中的应用

图3

评注:建系设点是向量法解决立体几何问题的重要步骤，对于此题很多学生不会灵活建系设点.若对三角函数定义有深刻的理解，引入角度后可写出点C的坐标，顺利解决问题.

图4

例8 (2015年浙江高考理科)如图4，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则( ).

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

解：由三射线定理，cos∠A′DB=

cos∠A′DCcos∠BDC+sin∠A′DCsin∠BDCcosα，又由∠A′DC+∠BDC=π，有1+cos∠A′DB=(1+cosα)sin∠A′DCsin∠BDC≤1+cosα，因此cos∠A′DB≤cosα，∠A′DB≥α.

评注:此题运用三射线定理解决，关键在于抓住角度之间的联系，利用三角函数有界性，将等式变形转化为不等式，从而解决问题.

6.解析几何中的应用

例9 直线l过第一象限的定点(a,b)，与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，求△AOB的周长的最小值.

评注:直线的运动可以看成角的变化引起，引入角度把握了运动本质，将周长表示为α的三角函数，运用三角恒等变换，结合基本不等式求出最值.

评注:利用椭圆上的点参设法，引入参数θ1,θ2，根据条件能得到角度之间的关系，再将面积表示为三角函数式，消元处理能得到结果，相比直线与椭圆联立方程求解，运算量有明显改善.

通过上述问题解决可知，三角法解题一方面需把握问题结构特征，善于观察、引参、代换，将问题转化为三角问题解决；另一方面需要提高三角运算能力，能处理繁杂的运算.挖掘三角函数知识的内涵，充分发挥知识的价值，能加深对数学知识的理解，培养思维能力和创造力.