一道课本习题的解法探究

甘肃省迭部县高级中学 (747400) 赵维刚

1.原题呈现

过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A，B两点，求A，B的中点M的轨迹方程.

这道题是人民教育出版社A版《数学·选修2-1》第37页习题2.1A组第4题，是一道以圆为背景的弦的中点问题，属圆锥曲线部分的重要题型，这道题也是一个很好的教学资源.本文根据圆的定义和特有性质探究得到其多种不同的解法.

2.多视角解答

视角一：从CM⊥AB出发

图1

又点M在圆x2+y2-6x+5=0的内部，所以x2+y2-6x+5<0.②

图2

解法二：(利用圆的性质)如图2所示，设x2+y2-6x+5=0的圆心为C，则点C的坐标是(3,0).又设点M的坐标为(x,y)，因为CM⊥AB，所以，点M在以OC为直径的圆上.以OC为直径的圆的方程为x(x-3)+y2=0，即x2+y2-3x=0.其他同解法一.

解法五：(利用勾股定理)如图2所示，设x2+y2-6x+5=0的圆心为C，则点C的坐标是(3,0).又设点M的坐标为(x,y)，因为CM⊥AB，所以OM2+CM2=OC2，所以x2+y2+(x-3)2+y2=9，即x2+y2-3x=0.其他同解法一.

视角二：从直线的点斜式方程出发

解法六：由题意可知，弦AB所在直线的斜率存在，设其方程为y=kx.联立方程组

视角三：利用点差法

视角四：借助直线的参数方程

3.反馈训练

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

4.结语

课本是数学基础知识的载体，课本中的习题具有代表性和探究性,其中蕴含着丰富的数学思想和数学方法，是学生数学活动的基本素材.因此，在数学教学中，教师要立足教材，注重挖掘教材资源，充分发挥习题的潜在功能，引导学生全方位、多角度思考问题，提升思维的深度、广度，培养学生的创造性思维.