几例数学运算素养之培养的教学片断

江西省南昌市第三中学 (330096) 张金生

当下特别强调课堂教学中要突出数学核心素养落实，要以发展的观点，促进学生数学核心素养的不断提升，让数学核心素养融入数学课堂教学内容.数学运算是六大数学核心素养之一，是学生继续学习数学的基础，还是后续发展的必备素养.在当今信息化、数字化的时代，运算能力是每一个现代公民必须具备的一项基本素养.苏联心理学家克鲁捷茨基曾说过：“数学才能早在童年时期就能形成，其中主要是以运算能力的形式出现的.当然，这个时期的运算能力还不是完整的数学能力，但在这种运算能力的基础上，却可以常常形成其他的数学能力.例如，求证能力、推理能力与独立掌握数据的能力”.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.《课标》明确指出“数学运算”核心素养包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果等，其中探究运算思路、选择运算方法显得尤为重要.

算理是运算的依据.每一种运算都有一定的理论依据，掌握这些理论依据是培养学生运算能力的前提，如果不懂算理，只是机械训练就无法适应千变万化的具体情况.目前不少学生过度依赖计算器，导致数学运算素养差.有些学生总是机械地套用运算公式，不会灵活进行变形；有些学生在缺乏运算目标的情况下盲目地推理演算；有些学生在运算过程中不能选择合理、简洁的运算途径，运算过程繁琐，准确率低等等.数学运算有精算、简算、估算等.2019年全国高考数学Ⅰ卷第4题，考的是估算，以维纳斯女神图片为命题背景命题轰动一时，在网络上一度刷屏.估算是精算的重要补充，估算过程的心智活动层次较高，是培养学生数感和核心素养的重要途径，也是培养学生具体情况具体分析、灵活选择策略解决问题能力的有效方法.在数学教学中培养估算意识、发展数感比结果更重要.估算与数感是高度正相关的，数感是估算意识和能力的基础.要把估算教学与解决问题相结合，利用生活常识进行估算，进行合情推理，拓宽解题思路.如凑数估算、经验估算、规律估算、位数估算、参照估计法和尾数估算.估算教学是教师进行教学探索的有益尝试．这种尝试做多了，数学核心素养的培育，就真正能得到有效的落实.

下面是笔者在教学实践过程中培养学生数学运算核心素养的几个教学片断：

案例1初高中衔接内容《数与式》教学片断：

师：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2),怎么证明这公式？

生：由右边展开后合并同类项得到左边如：

(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3.

师：有没有别的方法？请看：a2-b2=a2-ab+ab-b2=a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b);

a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=a(a+b)+b(a+b)=(a+b)(a+b);

这些证明，关键是如何添拆项、因式分解，同学们能不能类似证明a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

生：a3-b3=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2).

师：非常好！这里灵活运用了添拆项、和差术、分组分解等方法.

设计意图：用不同的方法进行代数式的变形处理，培养学生因式分解的能力，提高数学运算核心素养.

赏析：本教学片断老师先就学生已熟悉的公式入手，抛砖引玉，引导学生解决新问题，关注了学生的解题障碍与困难，把握了学生认知的过程，提出了合适的数学问题，启发学生思考，感悟数学的思想，形成与发展学生的数学运算核心素养.

案例2初高中衔接内容《一元二次方程根与系数的关系》教学片断：

师：已知实数x,y满足x2+y2-xy+2x-y+1=0，试求x,y的值．

在有限时间内，学生一时一筹莫展.

师：把方程看作是关于x的方程，整理得x2-(y-2)x+y2-y+1=0.

由于x是实数，所以此方程有实数根，因此△=[-(y-2)]2-4(y2-y+1)=-3y2≥0⟹y=0,代入原方程得x2+2x+1=0⟹x=-1．综上知x=-1,y=0.

该题给足了时间给学生思考，在老师讲了判别式法后，请学生展示不同的解法：

生1：(x-y+1)2+(x+1)2+y2=0，∴x-y+1=x+1=y=0;

生2：(x+y+1)2+3(x-y+1)2=0，

生3：3(x+1)2+(x-2y+1)2=0，

设计意图:教师先示范用方程思想去解决数学运算问题，然后引导学生通过多角度探寻对式子的配方和因式分解，培养学生对数与式的处理能力，提高数学运算核心素养.

赏析:本题原本是培养学生对式子运用方程思想，判别式法去解决问题.但在教学过程中给足时间让学生思考后，意外发现学生竟然配方出多种新式，教学相长.我们经常听到学生说：“一听就懂，一做就错”，也常听教师说：“我已经讲了好几遍，怎么还不会”等等.原因是多方面的，很大程度上是我们总是扮演“先知先觉”的上帝角色，没有引领学生走入知识生成的原生态.我们应该引领学生思考与表达、交流与反思，充分发展思维，从而提升学生的核心素养.

案例3一次三模试卷讲评课的教学片段：

(1)求椭圆C的方程;

(2)若椭圆C的左顶点为M,过点F2且斜率为k1的直线交椭圆C于P,Q两点,MPQ的外心为N,直线ON的斜率为k2,求k1·k2的值.

师：这道题第二问基本没有全对的，原因是三条直线中选错对象，同学们基本上选择求弦PQ的垂直平分线和PM或QM的一条的垂直平分线去联立，计算量太大，难以计算.同学们试着联立PM和QM的垂直平分线.

师：非常好！选对了直线，设而不求，少设多则，整体代换，得到线段MP的中垂线方程后只需将y1换成y2；同理得到线段MQ的中垂线方程，减少了计算量.

设计意图：解析几何通常运算量大，如何理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择正确的运算方法显得尤为重要.本题利用对称性、同理可得等手段，由此在解析几何问题处理中减少了计算量.

赏析：本教学片段通过评卷分析，了解了学生的解题障碍与困难，把握了学生认知的过程，启发学生思考，从而让学生掌握一些常见的计算方法，并能合理设计算法.这里利用直线PM与QM的对等位置，选择联立PM和QM的垂直平分线求外心.本片断引导学生观察思考，动笔计算尝试，来领悟和掌握如何合理简化运算过程，展示了解析几何计算问题中的科学合理的方法选择，提供了培养良好运算能力的素材，培养了数学运算核心素养.

案例4 2019南昌市零模试卷理科12题讲评课教学片断.

函数f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2(e为自然对数的底数，a∈R，a为常数)有三个不同零点，则a的取值范围是( ).

师：直接求导或一开始就分离变量，计算量大，若发现该式能因式分解，将大大减少计算量.

解析:令f(x)=0，则(x2-ax)ex-ax+a2=(x-a)(xex-a)=0,故f(x)=(x2-ax)ex-ax+a2有三个不同零点⟺x-a=0或xex-a=0共有三个不等根⟺直线y=a与y=x和y=xex的图像共有三个交点.

在同一坐标系中，作出y=x与y=xex的图像,由直线y=a与y=x有一个交点，故直线y=a与y=xex有两个交点.

图1

令g(x)=xex，则g′(x)=(x+1)ex，故g(x)在

(-∞,-1]递减，在(-1,

+∞)递增，且gmin(x)=

赏析:本教学片断通过评卷分析，揭示该题本质，通过因式分解、分离变量，转化为熟悉的基本函数y=a与y=xex，运用数形结合的数学思想去求解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运算的方法，体会数学思想，培养核心素养.本教学片段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指导和点拨.

运算能力的生成是学生个体的数学知识、思想、方法、解题经验、情感意识自然内化不断升华的活动过程，是建立在记忆、观察、理解、表述等能力基础上的，各种思维能力联系、比较是运算能力生成的关键.教师在教学过程中要敢于放手，让学生动手获取自己的体验，要合理创设问题情境，让学生感觉到运算的必要性，激发他们的认知需求.引导学生选择恰当的运算方法、不拘泥于一种格式，是教师进行教学探索的有益尝试.这种尝试做多了，数学核心素养的培育，就真正能得到有效的落实.