考虑摩擦的绕岛理论及在印尼贯穿流流量估算中的应用

杨延召王立伟徐腾飞魏泽勋*

(1.国防科技大学 气象海洋学院,江苏 南京211101；2.青岛科技大学 数理学院,山东 青岛266061；3.自然资源部 第一海洋研究所,山东 青岛266061)

Godfrey[1]在1989年利用简化的流体动力学方程,得到了绕岛理论,利用此理论可以借助岛屿周边及岛屿与海盆边界之间区域的风应力来研究岛屿与海盆边界之间的水道流动情况,这种利用风应力研究岛屿周边水流情况的方法早在1973年曾被Veronis[2]采用过,但是没有被明确的提出。Godfrey用绕岛理论估计了印尼贯穿流的流量,其结果与Wijffels等[3]利用地转流得到的结论及后来Gordon等[4-5]的直接测量结果具有较好的一致性。自从绕岛理论被提出之后,该理论被应用于不同的海域。Chen等[6]研究了非洲东海岸,并得到此区域的流函数。Cai[7]通过计算南大洋的流函数,研究了上层环流的特征。Qu等[8-10]利用绕岛理论解释了中国南海的上层环流、热和淡水的输送,并研究了吕宋海峡在传送厄尔尼诺-南方涛动时对中国南海的影响。通过分析绕岛理论的各个风应力路径,刘钦燕[11-13]解释了南海贯穿流和印尼贯穿流的联系,并研究了南海贯穿流的年际变化。

绕岛理论在推导的过程中对动量方程进行了深度积分,并进行了简化,在正压条件下省略了时间项、非线性项以及摩擦项。这就需要所研究海盆水深较深或海底较为平坦,局地海洋动力调整时间尺度远小于风场时间变化尺度,岛屿远离西边界并且水流不能太快,具有一定的局限性。Wajsowicz[14-15]将Godfrey的理论进行了推广,考虑了摩擦、地形及多个岛屿的情况,分析了各个通道中底摩擦或侧摩擦的适用性,并将其应用于印尼贯穿流。连展[16]在绕岛理论中考虑了摩擦-地形的作用,当存在海槛时,通过增加水深因子,提出了带有摩擦-地形作用的多岛理论。Pedlosky等[17]等利用数值模式对绕岛理论进行了验证,并考虑省略掉的非线性项、压力梯度力等因素对所得结果的影响。在时间尺度上,Yang[18]得到了可适用于季节变化的绕岛理论,并解释了有关吕宋海峡输运和北赤道流分叉点纬度的关系。

研究发现,利用绕岛理论估计出的通道流量,和实际相比,所得数值往往偏大,主要是忽略摩擦造成的。鉴于以往在利用绕岛理论研究问题时,要么忽略摩擦的作用,要么只考虑底摩擦或侧摩擦中的一个[14,19],此时对于有些海峡,比如英吉利海峡,按照Wajsowicz的分析,侧摩擦和底摩擦都会影响通道的流量,那么在摩擦的选择上将不太容易。为此,本研究在Wajsowicz的基础上,同时考虑底摩擦和侧摩擦,得到了岛屿的深度积分流函数解析值,用于估计通过海峡内的流量值,并就不同的岛屿位置情况分别进行讨论,在不考虑其中能量耗散的情况下,得到了相应的带有摩擦作用的绕岛理论。最后将此理论应用于印尼贯穿流,并与Wajsowicz的结果进行了对比。

1 带有摩擦的绕岛理论

采用Wajsowicz[14]的线性模型,假设海盆中存在2个岛屿,这2个岛屿均远离海盆的西边界；海盆底部为平底或水深较深,以至于底部地形被包含在流动性较弱的下层。摩擦只存在于两岛屿间的通道内,设海盆的深度为,在常态下,不考虑流体的惯性项,对水平动量方程进行垂直积分可得

式中,f为科氏参数,ρ0为流体密度,P为流体深度积分的压力项,(F(x),F(y))是流体垂向积分的摩擦项,(τ(x),τ(y))表面风应力,边界条件的个数依赖于摩擦的具体选择。当采用无法向流的边界条件时,可得在边界上Ψ为常数。针对两岛屿的相对位置不同,本文将其分为3种情况:

1)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度与东边岛屿的纬度部分重叠时(图1)。对式(1),(2)沿曲线C0,C1积分可得式中,为不考虑摩擦时,东边岛屿的流函数值。Δf0,Δf1为两岛屿各自的南北端科氏参数差,Δfovp为两岛屿纬度重合部分南北端的科氏参数差。C0为东侧岛屿南北端所在纬线、东侧岛屿的西边界以及海盆东边界所包围区域的周线；C1为西侧岛屿北端所在纬线、西侧岛屿的西边界、西侧岛屿南端至东侧岛屿的纬线、东侧岛屿的西边界,东侧岛屿北端至东边界的纬线以及海盆东边界所包围区域的周线；A→B位于两岛屿间通道区域的右端,沿右端岛屿的西边界,逆时针方向。

2)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度包含东边岛屿的纬度时(图2)。对式(1),(2)沿曲线C0,C1积分可得式中,Ψ1,ideal为不考虑摩擦时的西边岛屿流函数的值；C0,C1为各自岛屿南北端所在纬线、岛屿西边界以及海盆东边界所包围区域的周线。可见,摩擦的存在影响了东边岛屿的流函数,对西边岛屿流函数没有影响。

图1 两岛屿之间存在部分重叠时岛屿示意图Fig.1 Schematic diagram of the stream function when two islands are partially overlapped

图2 西边岛屿所在纬度包含东边岛屿所在纬度时岛屿示意图Fig.2 Schematic diagram of the stream function when the latitudes of the eastern island are within those of the western island

3)当西边存在一个岛屿,且其所在纬度包含于东边岛屿的纬度时(图3)。对式(1),(2)沿曲线D0,D1积分可得,式中,D0为东侧岛屿南北端所在纬线、东侧岛屿西边界以及海盆东边界所包围区域的周线,D1为西侧岛屿南北端所在纬线、西侧岛屿西边界以及东侧岛屿部分西边界所包围区域的周线。可见,此时摩擦的存在对左、右两端岛屿的流函数都有影响。

图3 东边岛屿所在纬度包含西边岛屿所在纬度时岛屿示意图Fig.3 Schematic diagram of the stream function when the latitudes of the western island are within those of the eastern island

2 Munk-Stommel模型

从以上3种情况的解析式可见,岛屿的流函数值及通过两岛屿之间通道的流量T=Ψ0-Ψ1依赖于式中的项,即和摩擦的选择有关。Wajsowicz[14],Pratt和Pedlosky[19]讨论了选择底摩擦或侧摩擦时有关摩擦对流量的估计,并讨论了其在印尼贯穿流中一些岛屿的应用,但其中大多以通道中选择一种摩擦为主。本文同时考虑通道内的底摩擦和侧摩擦,计算此时岛屿的流函数解析解,并得到带有摩擦的绕岛理论。

当式(1),(2)中的摩擦项同时考虑侧摩擦和底摩擦时,可得

对于通道中的风应力项产生的Sverdrup流,其导致的输运相比于整体的输运较小,可忽略不计[19]。只需解式(5)中对应的齐次方程,其相应的特征方程为

根据卡丹公式[20],其解和相应的三次方程判别式

有关。

图4 两岛屿坐标位置示意Fig.4 Schematic diagram of the coordinates of the two islands

当判别式Δ＜0时,特征方程(6)有4个实根,带入边界条件,求之,可得式(5)对应的齐次方程的解,具有形式ψ(x,y)=k0+k1er1x+k2er2x+k3er3x,其中r i,i=1,2,3为方程(6)相应的实根,k i,i=1,2,3,4满足方程:

1)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度与东边岛屿的纬度部分重叠(图1)时,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为

2)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度包含东边岛屿的纬度(图2)时,ε0=1,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为

3)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度包含于东边岛屿的纬度(图3)时,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为此时

同理,当判别式Δ＞0时,特征方程(6)有2个实根(0,r)和2个共轭的复根(a±bi),将其带入边界条件,可得式(5)对应的齐次方程的解具有形式满下方程组:

从而可得沿积分路径的摩擦力积分为

可得上述3种情况下岛屿的流函数以及两岛屿间流量公式。

1)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度与东边岛屿的纬度部分重叠(图1)时,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为

2)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度包含东边岛屿的纬度(图2)时,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为

3)当西边存在另一个岛屿,且其所在纬度包含于东边岛屿的纬度(图3)时,岛屿的流函数以及两岛屿间流量为

有关判别式不同所对应的两组解,即联合耗散因子r0或m0的解析式,它们反映了通道的宽度、侧摩擦系数、底摩擦系数及通道深度之间的组合关系。在通道宽度、深度固定的情况下,当侧摩擦与底摩擦的系数之比较大时,则侧摩擦起主要作用,此时的取值倾向于r0,反之,倾向于m0。在通道宽度、摩擦系数之比固定的情况下,通道的水深越深,此时的取值倾向于r0,反之,就取m0。

当只考虑底摩擦,即侧摩擦系数AH=0时,式(5)为在边界条件ψ(0,y)=ψ1,ψ(W,y)=ψ0下求解相应的齐次方程可得

3 绕岛理论在印尼贯穿流流量估算中的应用

印度尼西亚海域位于太平洋—印度洋两大暖池区的中间地带,是典型的海洋大陆带,区域内有众多复杂连通的海峡与其相邻的大洋之间进行着活跃的水交换。印尼贯穿流是联系太平洋和印度洋的主要通道,是全球大洋热盐环流输送带上的一个关键环节,在大洋间的物质平衡、动量平衡和能量平衡的维持中有重要作用[21]。南海是连接太平洋和印度洋的重要通道,这一分支也被称印尼贯穿流南海分支或南海贯穿流。两者作为太平洋和印度洋的枢纽,具有较为复杂且重要的调节关系[22]。

通过修订绕岛环流理论的摩擦项,Wajsowicz[19]分析表明印尼贯穿流流量的变化与南太平洋的风场有着紧密的联系,澳大利亚南端纬线和赤道太平洋的纬向风应力积分是印尼贯穿流流量年代际变化的主要贡献者。在印度尼西亚海众多的海峡中,望加锡海峡是印尼贯穿流的主要流入通道,较少流量经过其余通道[21-22]。尽管印尼贯穿流不是正压的,但大部分体积输运被认为局限于上层200～300 m,此时可近似为正压平底模型。考虑到通道长度从赤道延伸到12°S,而澳大利亚岛可近似为从赤道延伸到45°S。因此,通道长度和澳大利亚岛屿南北长度的上限比率为

本研究采用的风场数据是CCMP(Cross-Calibrated Multiplatform)资料[23],它以ERA-40再分析的产品以及欧洲中期天气预报中心ECMWF的业务分析产品的10 m洋面风场为背景场。该数据采用了四维同化的方法,融合了SSM/I,TMI,QuikSCAT等卫星探测资料以及船舶等观测资料,相较于ERA-40的产品,其分辨率更高。其产品由美国宇航局提供,较其他单个卫星平台的风场数据在精度方面有很大的提高。

本文选用1988—2014年期间共27 a的风场数据,它们的空间分辨率为0.25°×0.25°,时间分辨率为月。通过公式,将海面上10 m处的风场转换为风应力,其中ρ为空气密度,本文取值为1.3 kg/m3,为所需要的风应力,U为风速大小,为风矢量,Cd为拖曳系数。关于拖曳系数的计算,本文采用Yelland和Taylor[24]的计算方法:C d×1000=(0.29+3.1/U+7.7/U2),当3 m·s-1＜U＜6 m·s-1；Cd×1000=0.6+0.07U,当6 m·s-1＜U＜26 m·s-1。

计算中首先对风速进行多年月的平均,得到每月的平均风速,然后将其转化为月平均风应力。有关积分路径的选取,本文采用与刘钦燕等[11]相同的积分路径,即图5的积分路径,其中北边界为0°45'N,南边界为45°15'S。沿图中路径在不考虑摩擦时对风应力进行积分,即用Godfrey[1]的绕岛理论公式积分,计算可得在稳定态下印尼贯穿流的流量为10.474 1 SV。

图5 印尼贯穿流风应力积分路径图Fig.5 Diagram of the integration path of wind stress used for the calculation of the Indonesian throughflow

本文的讨论限定在β平面,当把整个太平洋看做一个密闭海盆,则此时有Ψ1=0,望加西海峡的平均水深采用H0=300 m,宽度选取W=300 km。有关摩擦系数的选择,不同的文献取值不同,为方便比较,本文选取了2种摩擦系数:AH=104m2·s-1,Df=2×10-3m2·s-1[14-16]与AH=5×103m2·s-1,Df=5×10-4m2·s-1[14,19]。当摩擦系数取值AH=104m2·s-1,Df=2×10-3m2·s-1[14-16]时,AS=2/3×10-5m2·s-1,可得联合耗散因子m0=0.312 8。通过式(8)可得到在同时考虑2种摩擦时的流量为,在2种摩擦的作用下其值减少约23.8%。

假若取Wajsowicz[14]和Pratt[19]采用的数据AH=5×103m2·s-1,Df=5×10-4m2·s-1,H0=200 m,可得摩擦系数的值为m0=-0.199 1,进而可得到在同时考虑2种摩擦时的年际平均估计流量近似为ψ0,在2种摩擦的作用下其值减少了约16.60%。

比较发现:当只考虑侧摩擦时,流量会增加；当只考虑底摩擦时,流量会减少；当同时考虑底摩擦和侧摩擦时,流量会减少,减少的幅度较只考虑底摩擦时更大。绕岛理论一般被认为高估实际流量值范围约为0～25%[14-15,17,19,25],其中主要原因在于缺少摩擦项,本文结论与Pedlosky[25]的推测是一致的。

4 结 语

本研究在Wajsowicz的模型基础上,通过同时考虑底摩擦和侧摩擦,得到了岛屿的深度积分流函数解析值；并且就不同的岛屿位置情况进行了讨论,分别给出了通过海峡内通道的流量计算公式,得到了相应的带有摩擦作用的绕岛理论。利用CCMP的风场数据,计算了稳定态下印尼贯穿流的流量,并就只考虑底摩擦、只考虑侧摩擦和综合考虑底摩擦与侧摩擦三种情况进行了对比,发现:当只考虑侧摩擦时,流量会增加；当只考虑底摩擦时,流量会减少；当同时考虑底摩擦和侧摩擦时,流量会减少,减少的幅度较只考虑底摩擦时更大。

文中有关流函数的解析表达式及流量的计算公式有一定的限制条件,即要求通道的宽度远小于其长度,故结论有一定的局限性。当限制条件不成立时,此时Munk-Stommel模型将变成高阶偏微分方程,有关其流函数的解析解,将有待于进一步探讨。