一种线性过程方差变点的比率检验

秦瑞兵， 游 悦

（山西大学数学科学学院，太原 030006）

方差问题通常在统计应用中被认作是风险问题，如果能够更加精确地估计变点的存在，就能及时地规避风险，减少损失，这也是众多学者研究方差问题的意义所在. 最早有关方差变点的统计学文献就是Hsu等［1］，他们提出了一个方差公式作为股票收益模型中Pareto分布的替代. Inclán等［2］、Gombay等［3］考虑了独立序列中的方差偏移问题. 在处理自回归的观察值序列时，Wichern等［4］选用一阶自回归模型来处理未知时刻的突变方差问题，与之不同的是，Abraham等［5］则使用了贝叶斯框架来处理这一问题. Lee等［6］提出了CUSUM平方检验来检验线性过程中方差变化. 赵文芝等［7］和袁芳等［8］采用CUSUM型统计量分别研究了线性过程和独立序列中的方差变点估计问题. Zhao等［9］还就线性过程中的方差变点问题，证明了SCUSUM型估计方法具有一致性. Wang等［10］研究了线性过程中长记忆误差的方差变点检测问题. Bekers等［11］研究了线性过程中协方差结构的变化问题.

Kim［12-13］使用比率检验来检测线性时间序列中的持久性变化问题. Horváth等［14］使用比率检验来检测均值的变化，并在弱不变原理下推导出观察值之和的极限分布. Zhao等［15］采用比率检测来检验线性过程中的方差变点问题，在原假设下推导出其渐近分布，并对变点进行了估计. 但是Zhao等［15］的方法还存在一些问题：在方差由小变大的情况下，当变点时刻在0.5之后，存在势过低的现象，无法进行检测；在方差由大变小的情况下，当变点时刻在0.5之前，同样存在势过低的现象，无法进行检测，所以有必要对其统计量做一个修正. 在本文中，我们对其提到的统计量进行了改进，使改进后的统计量的势得到了提高.

1 模型和假设

假定观察值序列为Y1,Y2,…,Yn，考虑如下模型：

其中：μ,σ1＞0 和σ2＞0 都是未知的有限常数；k0是未知的变点；Xk是一个MA（∞）过程如下：

考虑如下假设检验问题：

这里的σ ＞0 为一未知的有限常数. 进一步对模型做出如下假设：

2 主要结论

现构造统计量Mn如下所示

定理1 若原假设H0及假设①～③成立，当n →∞时，有

并且

证明 为了不失一般性，我们假设σ1=σ2=σ=1，令

其中：ν=EX12，由Philips等［16］一文中的定理3.8和定理3.4可知，

这里：→a.s.代表以概率1收敛（也称几乎处处收敛）. 又有

类似地，可以得到

由上述公式（9）～（11）可以得到，对于所有的0 ＜δ ＜1/2，都有

由连续映射定理就可以得到，当n →∞时，

定理1得证.

证明 令τ0为所观测时间序列的真实变点，由Philips等［16］一文中的定理3.1，我们可以得到

所以当n →∞时，

那么

所以当n →∞时，

那么

定理2得证.

接下来，在备择假设下，给出变点位置的估计：

定理3 若备择假设H1及假设①～③成立，当n →∞时，有这里：代表依概率收敛.

这里将（12）式等价的表示成：存在C ＞0，N 使得当n ＞N 时，下列不等式成立，

当n 充分大时，

所以

综上可得，对于任意的0 ＜λ ＜1，我们取一个较大的C 和N，当n ＞N 时，（13）式成立. 定理3得证.

3 模拟和实例应用

3.1 模拟

在这一节中，通过蒙特卡罗模拟对本文的统计量进行检验，在本文中设置δ=0.2，样本量分别为200，300，500，试验重复次数为2000次. 模型如下所示：

该检验的结果在表1中给出，括号内的值为进行对比的Zhao等［15］一文的模拟结果. 由表1可以看出，随着样本量的增加，经验水平的扭曲程度逐渐减小，势逐渐增大. 势在τ0取0.5的时候达到最大，在τ0取0.75的时候相应最小. 而Zhao等［15］在备择假设为方差由小变大的情形下，当τ0=0.75 时，势的取值极小，该方法根本无法检测是否存在变点.

表1 Mn 的经验水平和势Tab.1 Empirical level and potential of Mn

为了得到变点τ̂的准确估计，我们基于模型（14）式在备择假设下对变点τ̂的均值和标准差进行了估计，试验重复次数设置为2000，其结果由表2所示.

表2 变点τ 的估计结果Tab.2 Estimated results of change point τ

由表2可知，变点的估计值τ̂的所有均值在任何情况下都小于真实的变点τ̂0，此外还可以知道变点的估计值τ̂的标准差都较小，这也说明了估计的准确性.

3.2 实例应用

图1 太阳黑子数年平均数据Fig.1 Annual average data of sunspots

图2 函数和的图像Fig.2 Graphs of functions and

4 结论

本文用比率检验来检测线性过程中的方差变点问题，对Zhao 等［15］文章中存在的势过低问题进行了修正，提出了一种新的统计量，提高了检验的势，并得到了其在原假设下渐近分布及备择假设下的渐近性质.本文还提出一种新的变点估计方法，建立了该变点估计方法的收敛性和收敛速度. 模拟结果表明了该统计量在样本量大小适中时具有比原统计量具有更好的经验水平和更高的势，本文中提到的估计方法也具有一致性. 实例分析也验证了这一结论.