类比探索求新知 自主归纳促提升

陈国琴

摘要：初中数学的类比思想方法是课堂教学过程中教师引导学生探究新知常用的思相方法，是帮助学生联系新旧知识、解决问题、完善知识建构的重要方法，也是开发学生思维、提高学生思考能力的重要形式。本文以《一元一次不等式（1）》为例，通过类比思想方法探究新知，以促进学生自主归纳来体现类比思想的重要性。

关键词：一元一次不等式;类比思想;自主归纳

J.S.布鲁纳认为，掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本的数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。[2]类比思想是数学中一种解决问题的重要思想方法，能培养学生的自主归纳能力，能帮助学生从“学会”变成“会学”，是落实学生数学核心素养重要方法。那么如何在课堂教学中更多的利用类比思想来提升学生能力呢？笔者以浙教版八年级《3.3 一元一次不等式（1）》第一课时为例，谈谈数学类比思想在数学中的应用策略。

一、教学内容和目标解读

（一）内容解读

浙教版数学八上内容有不等式的概念与不等式的基本性质，一元一次不等式与一元一次不等式组，和列一元一次不等式解应用题。本章内容作为初中阶段数与代数中不等式的开始，是后续更深入学习不等式的证明和解法的重要着力点。众所周知，现实世界里不但有数不清的等量关系，而且有着各式各样的不等关系。不等式是用来表示不等关系的方法，与方程相同，不等式也是一种描述客观世界必不可少的数学模型，它在生活和生产实际中有着广泛的应用。本章内容之间的相互联系可以用如下结构框图表示：

如上面的结构框图所示，本章第三课“一元一次不等式”在整个单元里是承上启下的枢纽。学生虽然会利用不等式来描述客观世界中不等数量关系以及知晓不等式的性质，但学生不免会产生这样的疑问“为什么要学习不等式的性质？”不过第三课时的内容恰好回答了学生的疑问，而且也让学生明白解一元一次不等式的依据恰恰就是不等式的性质，由此促使学生了解数学内涵与素养，继而提高课堂效率。

（二）目标解读

“3.3 一元一次不等式” ，可以这样解读：

2、这样的数还有吗？继续列举，如何表示这些数？

模仿、类比解答 解有关一元一次不等式 简单的一元一次不等式

在数轴上表示不等式的解 掌握

根据课标，本节课的学习重心如下：即学生能够将所给的各个不等式和一元一次方程作比较，用自己的语言得出一元一次不等式的特征：①两边都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是一次，从而得出一元一次不等式的概念并且理解“元”和“次”的含义;再以3x>30为例，列举能使不等式成立的未知數的值，并尝试用前面所学的不等式或数轴来表示这些未知数的值。这是本课的教学重点，也是难点。为什么是难点？因为不等式的解与方程的解有着较大的不同。在浙教版的教材中，不等式的解的定义是能使不等式成立的未知数的值的全体，是不等式解集的简称，因此不等式的解实际上就是满足不等式的所有数值的集合，这种形式的数学概念对学生来讲是好懂却十分抽象的。因此，除了类比迁移，还需通过判定、列举、表达，帮助学生进一步理解概念的本质;最后通过模仿一元一次方程的解法，类比得到一元一次不等式的解法，而且促使学生体会到解一元一次不等式中每一个步骤都是根据不等式的性质，让学生领悟算理和解题步骤是数学学习中的重要支撑。根据上述分析，本课学习目标设定如下：

1.学生经历类比一元一次方程，理解一元一次不等式的概念;

2.学生能用不等式或数轴来表示3x>30的解，并理解一元一次不等式的解的概念;

3.学生会用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式;

4.学生会在数轴上表示一元一次不等式的解并且利用数轴解决特殊解问题。

5.使学生经历用类比迁移的过程，引发他们自主专研的兴致，加强数学的学习兴趣。

二、课堂教学实践

（一）类比探索促数学概念生成

一元一次方程和一元一次不等式具备相关联系，不过没有构成上、下位关系，因此课堂的关键是帮助学生寻找一元一次不等式与已有知识脉络中的有关知识的生长点，通过类比一元一次方程的概念，从而归纳迁移获取一元一次不等式的定义，这也是学习数学里描述性定义的一种重要方法。

【复习交流 疑点反思】

出示：5x-3=7x+1

师：这个等式叫什么？什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程的解？你会解一元一次方程吗？（绝大部分学生都能回答这几个问题，而且还回顾了一元一次方程的三个特点：①两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是1）

设计意图：复习一元一次方程的相关概念，为后续的类比学习做准备。

【聚焦概念 找寻关键】

幻灯片依次呈现三个不等式：5x-3≥7x+1;5x-3≤7x+1;5x-3>7x+1;

师：那这些式子叫什么？

生：一元一次不等式。

师：你们能不能“借用”一元一次方程的概念，来给一元一次不等式下个定义？

生：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.

设计意图：以学生观察的方式，在过程中渗透类比思想，，发现一元一次不等式和一元一次方程是“同胞”兄弟，发现一元一次不等式的特征，形成一元一次不等式的概念。

【简单应用 方法反思】

幻灯片呈现六组数学式子，让学生判断哪些是一元一次不等式：

①2x+3>3y-1      ②x2+10≥16     ③3/x>10

④ 3x=10           ⑤3x>10         ⑥

【合作学习 探究新知】

师：判断当x1=9，x2=10，x3=10.1时，哪些未知数的值能使3x=10成立？（学生答10）

幻灯片将方程3x=10切换成不等式3x>10

师：以上三个数，哪些能使3x>30成立？（学生答10.1，我将10.1写到黑板上）

师：满足这个一元一次不等式的x的值还有吗？（此时有学生回答只要x>10就都满足，我将x>10写到黑板上）

师：也就是说x=9，x=9.8都不满足这个一元一次不等式是吗？（我将9，9.8也写在黑板上）

师：也就是说x=10.5，x=11都满足这个一元一次不等式是吗？（学生答是的，并且表示对x>10这个“标准”答案的肯定，我将10.5，11也写在黑板上）

对于3x>30这类简单的不等式，学生根据实际生活经验，能够轻易地得到正确的答案，但是前面提到过，不等式的解的定义是能使不等式成立的未知数的值的全体，是不等式解集的简称，因此不等式的解实际上就是满足不等式的所有数值的集合，这种形式的数学概念对学生来讲是好懂却十分抽象的。这也是我在磨课中遇到的一个难题，如何让学生在已有的生活经验下，理解不等式解的概念，是本堂课要突破的一个难点。

师：像这样的数举得完吗？（学生摇摇头，表示举不完，我将黑板上的三个数10.1，10.5，11三个数圈起来，如下图）

师：我们举不完，那么老师画了一个圈，把这些数都圈起来，你们认为圈圈表示的数是什么？（学生答10）

师：除了老师的这种方法，以及你们刚刚提到过x>10的方法来表示这些举不完的数以外，我们还学过哪类数学方法能表示这些数。（有学生答数轴）

师：很好，那我们一起来用数轴表示，你们说步骤，老师来画。

生：第一步先画数轴;第二步在10的点上画空心圆;第三步方向朝右边;

师：看来大家对前面的知识掌握的不错，而且还能运用已学的知识来解决刚刚的问题，那么，这三种表示方法，你更喜欢哪一种呢？（学生都表示是x>10更方便，简洁）

师：像x>10这样的我们叫做一元一次不等式解的形式，是我们解一元一次不等式要达到的最终要求。

那么什么是一元一次不等式的解呢？

生：能使不等式成立的未知数的值的全体称为不等式的解集，简称为不等式的解。

设计意图：以类比与思考的方法，使学生理解一元一次不等式的解通常有无数个，掌握不等式的解的概念。另外，设计并提出符合学生当前认知水平的相关课堂追问，让学生已有的认知结构与课堂探究内容产生冲突，因而激发学生的求知欲，也将探究不等式的解法做了铺垫。

（二）类比探索促解题方法生成

通过前面几个环节对一元一次不等式的概念和不等式性质的学习，学生已经进一步理解领悟了类比思想，所以，在一元一次不等式解法的教学中，笔者激发学生主动应用类比思想直接从解一元一次方程的五个步骤（求分母、去括号、移项、合并同类型、系数化1）迁移归纳了一元一次不等式的解法，因而体验了探究数学问题中由通性求通解的代数思想。

【尝试解疑 问题反思】

幻灯片呈现三个不等式，让学生尝试去解并且把解表示在數轴上。

①4x<10        ②-3x/5>1.2       ③x+1≥3

（教师巡视， 2分钟左右时几乎所有学生均已完成任务。）

师：你们觉得解不等式难吗？（学生表示不难）

生：和解方程差不多。

师：那解不等式的过程中你们用到了哪些性质呢？

生：不等式的基本性质（板书：（1）解不等式就是利用不等式的基本性质。）

师：很好，刚才同学们说的“差不多”，实际上是说出了方程和不等式有某些相同或类似的属性。譬如：方程的概念和不等式的概念有某些相同或类似，等式的性质和不等式的性质也有某些相同或类似，实际上，大家已经运用了类比的方法来学习不等式。

那么等式的性质和不等式的性质有哪里不同？

在解不等式的过程中我们要注意什么？

生：等式两边都乘以或都除以同一个的数或式（除数不能为0），所得结果仍是等式。

不等式的两边都乘或都除以同一个正数时，不等号的方向不变;

不等式的两边都乘或都除以同一个负数时，不等号的方向改变。（板书：（2）两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。）

师：在解不等式的过程中，除了要注意刚刚我们说的除以负数，不等号方向要改变以外，解不等式时，移项法则同样适用。即：移项时项的符号要改变，不等号的方向不变。（板书）

【例题学习 应用反思】

幻灯片呈现问题。

例1解不等式7x-2≤9x+3，并反解表示在数轴上。

师：并求出不等式的负整数解。

（教师巡视， 2分钟左右时几乎所有学生均已完成任务，并请三位同学将各自的答案在黑板上板演）

师：你们认可哪位同学的做法？其他两位同学错误的原因你们觉得是什么？

生：没有画数轴。

师：很好，因此我们在求一元一次不等式的特殊解时，一定要借助数轴这个重要的工具帮助我们理解和分析。

【颗粒归仓 总结反思】

三、反思

波利亚指出：没有类比，在初等数学或高等数学中就不会有发现，其他学科中也不会出成果。[黄旭、刘云.类比思想在初中数学教学中的运用*——以“分式的加减第一课时”为例[J] .中学数学月刊，2018：35-38.]实际上，学生学习知识的重要资源是课本，发生迁移的主要载体是知识，教师是知识的传授者，是课堂的引领者，合理规划教学进度，缩小学生与教材之间的差异，所以笔者从数学概念、数学解题、数学思想方法的三个视域初步探究学生在课堂学习中的有效形式，实际上在课堂教学过程中依旧受许多因素的影响，间接、甚至直接影响课堂学习。

（一）类比应用

本课的特别之处有两点：1.通过元认知问题的设计和问答来启发学生，让学生主动地运用类比来研究一元一次不等式的概念和解法，并通过追问，让学生说出运用类比的方法来研究一元一次不等式的思考过程。让学生从亲身经历的探索思考过程中获得对类比方法的体验，过程中，学生不但领悟到类比方法的运用，而且使类比的方法深深地印在他们的脑海中，久而久之，学生就会灵活应用类比的方法来研究问题。

（二）再教设计

如果重新进行教学设计，笔考会给学生留出更大的思考空间，让他们在探索和碰撞下对类比的学习方法产生更深的印象，其次，充分利用“手机同屏”这类辅助教学工具，帮助学生理解和比较解题方法。

参考文献

[1]费晓芳.基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学设计——“一元一次不等式”的设计[J] .上海中学数学，2017：94-97.

[2]米萌.新课标下中学数学认知中的迁移研究[D] .延安大学，2011.

[3]黄旭、刘云.类比思想在初中数学教学中的运用*——以“分式的加减第一课时”为例[J] .中学数学月刊，2018：35-38.