两不同故障状态可修复系统的稳定性分析

2020-03-25赵志欣

吉林大学学报（理学版） 2020年2期

赵志欣, 唐慧

(1. 长春师范大学数学学院, 长春 130032; 2. 吉林大学数学学院, 长春 130012)

可修复系统是指当构成系统的部件出现故障或劣化时, 通过各种维修方法使其恢复功能的一类系统. 只要适当定义系统状态, 即可运用随机过程理论和补充变量法建立可修复系统的数学模型. 文献[1]讨论了带有小维修和不完全预防性维修的多状态退化系统, 利用Markov过程建立了系统模型; 文献[2]利用几何过程描述了系统的退化过程, 建立了广义Markov过程的可修系统模型, 并给出了系统的可靠性指标；文献[3]在修理时间服从一般分布的条件下, 建立了具有n个子系统的可修复系统模型, 并给出了系统的稳态概率；文献[4]建立了由n个相同部件构成的并行可修复系统模型, 并分析了系统的可用性和可靠性; 文献[5]结合常规故障、切换故障和修复延迟等情形, 讨论了具有不同热备用单元和维修设施的冗余可维修系统; 文献[6]进一步将具有预警功能的四类故障可修复系统转化为Cauchy问题, 用算子半群理论分析了算子的谱特征, 并证明了系统主算子的增长界和谱上界为零; 文献[7]利用半群逼近理论给出了可修复系统瞬态指标逼近计算方法, 并给出了可靠性指标的数值模拟. 本文在文献[3]的基础上, 基于可靠性理论和算子半群理论分析系统的渐近稳定性.

1 数学模型

设系统由n个子系统构成. 每个子系统都可分为3种状态：工作状态、部分故障状态和灾难性故障状态. 用0表示系统处于工作状态,pi表示第i个子系统处于部分故障状态,ci表示第i个子系统处于灾难故障状态(i=1,2,…,n). 当t=0时系统是新的, 并开始工作. 状态0可转移至状态pi, 状态pi经修复恢复至状态0. 状态0也可转移至状态ci, 状态ci经修复恢复至状态0. 系统处于状态pi时可转移至状态ci, 状态ci经修复恢复至状态0. 利用全概率分析的方法, 系统模型可由一组积分-微分方程[3]描述如下:

初始条件为

p0(0)=1,ppi(0,x)=ppi(0)=0,pci(0,x)=pci(0)=0,i=1,2,…,n.

(6)

下面将系统转化为Banach空间中的抽象Cauchy问题, 并选取状态空间如下：

显然, (X,‖·‖)是一个Banach空间. 算子

取算子F的定义域如下:

其中D(U)=D(E)=X, 将系统方程(1)～(6)转化为Banach空间中的一个抽象Cauchy问题如下:

(7)

2 系统的稳定性

引理1系统算子F+U+E是生成一个正压缩C0半群T(t).

对任意给定的Y=(y0,yp1,…,ypn,yc1,…,ycn)T∈X, 考虑(rI-F)P=Y,

解方程(8)～(10), 可得

结合式(13)～(15)及Fubini定理, 有

2)D(F)在X中稠密.

结合1),2), 并由Hille-Yoside定理即可得F生成一个C0半群. 易证U和E是有界线性算子. 再利用C0半群有界线性算子扰动定理知,F+U+E生成一个C0半群T(t).

3) 系统算子F+U+E是耗散算子. 对∀P∈D(A), 取

这里:

结合边界条件, 易得〈(F+U+E)P,φ〉≤0, 即F+U+E为耗散算子.

结合1)～3)及Philips定理可知,F+U+E生成一个正压缩C0半群. 由C0半群的唯一性可知, 该压缩C0半群即为T(t).

引理2系统(7)有唯一非负时间依赖解P(t,·), 且满足∀t∈[0,∞), ‖P(t,·)‖=1.

‖T(t)P0‖=‖P(t,·)‖=‖P0‖=1,t∈[0,∞).

引理3对{r∈|Rer>0或r=ia,a∈,a≠0}, 有

其中i=1,2,…,n.

证明: 当Rer>0时, 有

当r=ia,a∈,a≠0时, 有

定理1{r∈|Rer>0或r=ia,a∈,a≠0}包含于系统算子F+U+E预解集ρ(F+U+E).

证明: 对∀Y=(y0,Y1(x),Y2(x))=(y0,(yp1(x),…,ypn(x))T,(yc1(x),…,ycn(x))T)∈X. 考虑算子方程(rI-(F+U+E))P=Y, 即

解方程(17)得

(23)

结合引理3并将式(21)和式(23)代入式(16), 得

其中

结合式(19),(22),(24)可得如下向量形式方程组:

且

从而向量形式方程组的矩阵为严格列对角占优矩阵, 因此可逆且有唯一解(p0,pp1(0),…,pcn(0))T. 即当Rer>0或r=ia,a∈,a≠0时, 方程[rI-(F+U+E)]P=Y有唯一解P∈D(F). 又因为[rI-(F+U+E)]是闭的, 由逆算子定理知[rI-(F+U+E)]-1存在且有界, 从而{r∈|Rer>0或r=ia,a∈,a≠0}包含于系统算子F+U+E预解集ρ(F+U+E).

定理20是系统算子F+U+E几何重数为1的特征值.

证明: 考虑算子方程(F+U+E)P=0, 即

由式(26),(27)得