基于解题，提炼数学概念内涵

袁增军

【摘要】数学概念教学是培养学生核心素养的重要途径.本文以“函数的性质”教学为例，阐释了在解题基础上注重提炼概念内涵，以静制动，培养学生的数学核心素养.

【关键词】解题;数学概念;内涵;核心素养

【问题提出】

弗赖登塔尔认为：“数学知识不是教师教出来的，而是研究出来的.”同样的，数学概念不能仅仅依靠教师的教，应该让学生在解题过程中发现规律、共性，唤起好奇心，通过不断探究，对数学概念进行提炼，做到真正地学以致用.概念是数学的“细胞”，“函数的性质”概念数量多、章节跨度大，初学者若想形成系统性的理解难度较大.学生间常说的“得函数者得数学”就足以让人感受到其重要性.下面以苏教版教材中“函数性质”的教学为例，分享笔者的实践与思考.

【解题困惑】

教学观察：应用反证法的大体步骤，学生反应较好，而在面对“最小”这一关键结论的证明时，明显力不从心.同第二组问题一样，“举反例”是较为严谨的解法，但有部分学生想不到这种解法，即使想到了也心存忐忑，为什么可以这样做？这算不算“投机取巧”？

【内涵挖掘】

对于函数的奇偶性、周期性、单调性、最值等问题，在它们各自定义的表述中，一般存在着“任意……都有……”这样一些关键词，联想到解题过程中经常面对的恒成立问题，教师完全可以引导学生进一步树立“恒成立”的意识.当然，对“恒成立”这一内涵的挖掘，还要通过以下三个维度进行深度分析.

维度一，聚焦概念中的适用范围.函数的奇偶性、周期性、最值中的“恒成立”，均是针对函数的定义域而言，属函数的整体性质.但是函数单调性中的“恒成立”未必针对定义域，也有可能是针对定义域的子区间，它属于局部性质.两者不可混淆.

维度二，聚焦概念中式子的形式.函数的奇偶性、周期性中的“恒成立”，是等式的恒成立，而函数单调性、最值中的“恒成立”则是不等式恒成立.形式不同，解题路径各异，只有方向把握准确，解题才能高效.

维度三，聚焦生活中的实例.如从反面论证“恒成立”问题为什么需要“举反例”，可以在课堂上举例.“有人说，高一（6）全班同学皆近视眼，而事实并非如此，有的同学还准备参加飞行员的选拔，那么该如何去反驳此人？”问题一经抛出，学生自然会对该人言论进行针对性的反驳——找出一个视力正常的同学即可.

【水到渠成】

【学以致用】

问题是数学的灵魂，高中数学课堂教学是围绕问题展开的，知识因问题而起，为了解决问题才要更新知识、创造新知;学习因问题而导，教师只有科学、合理地设置问题，才能够有效地引导学生深入探究，主动构建新知;素养因问题而成，学生经历了发现、分析、解决问题过程，才能从中汲取数学素养的养分.问题的设计和教学的掌控是学生数学素养落地生根、开花结果的关键所在.所以，教师在进行概念教学时，一定要对课本习题进行变式、引申和拓展，同时要及时提炼数学概念的内涵，达到学以致用的目的.本节课后，笔者设计如下问题组供学生研讨.

【逆向研究】

“恒成立问题”作为高考试题中的常青树，除上述由外及里的内涵挖掘的题目之外，显性的恒成立问题比比皆是.因此，教师在解题教学中要加强研究，充分挖掘概念内涵，以培养学生辨析思维、求异思维能力.从综合性来看，题目主要分为单一型和复合型两类.从变量个数来看，常见的有一个变量和若干变量（且以两个变量为主）.从函数个数来看，常见的有一个或两个函数，有时两个函数往往还需要转化成一个函数.这些问题看起来难以理解，想要解决需要从源头切入，挖掘其内涵，辨析其核心区别，依靠转化与化归、数形结合等数学思想寻求突破.

综上，t的取值范围是（-∞，3].点评 一参数一变量与“存在性”“任意性”有机结合，是高考中的常见题型，使抽象的函数问题变得更加难以理解.事实上，这类问题只要抓住全称量词和存在量词的基本含义，辨析清楚两者之间的差别，就能够迅速地解题.

【教学思考】

数学概念是数学知识的基础，是数学思想方法的载体.基于解题，挖掘概念内涵，是培养学生数学核心素养的重要途径.教师在讲解函数的奇偶性、单调性、周期性、最值等概念的过程中，抽象出一般规律和结构，即共同且本质的数学特征“恒成立”，学生解题时就能够快速提炼出“恒成立”这一模型，从而实现问题的圆满解决.“随风潜入夜，润物细无声.”在这个过程中，学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等素养也必然会得到塑造和巩固.

概念课教学既是基础也是重中之重，但现实中却呈现出两种不良倾向.一是存在“教材不吃透，全靠习题凑”的状况，笔者曾在县城内做过观察，记录了七节数学评优课，当提到一次函数“y=kx+b（k≠0）”中“k=0”式子还是不是函数问题时，仅有一位教师能够引导学生通过咀嚼概念做出清晰的判断，其他老师都是含含糊糊、闪烁其词，听者揪心，学生添堵.二是对概念不够重视，笔者发现教师教学能力的层次与概念教学的重视程度正相关，基本功扎实、具有一定的研究能力、学生评价高的老师在概念教学上不仅重视而且“能歌善舞”.相对而言，有些教学能力一般的老师却“好高骛远”.对于广大的一线数学教师，我们要进一步唤醒、激励、鼓舞，让“重视概念教学、注重立长远，静心打基础，教得轻松、学得愉快”蔚然成风.各地教研机构也要当好“红娘”，指导学科备课组进行针对性的阅读、研讨，让概念教学立于舞台中央.

眾所周知，在社会、家庭、学校各方“推动”下，学生的考试分数被过度关注，使教学异化，我国高中数学教育普遍存在着同质化的倾向.北京大学张顺燕教授曾精辟地指出：“教学有三种境界，即授人以业，授人以法，授人以道.”前者凸显所授知识的准确性，中者强调所授知识的深刻性，而后者方是教学的最高境界，它要求教学不但要使学生将知识与方法融会贯通，而且要把数学的思想方法、本质规律及内部联系等灵魂性的东西揭示出来，为学生的终身发展打下坚实的基础，它强调所授知识的本质.这就为我们的教学路径指明了方向——抓住问题的本质.所以我们要从人的角度研究教学，改进方法，认真落实学生核心素养的培养.在概念教学设计中我们要进一步凸显问题导向，确立“建构→解题→内涵→升华”流程，其中基础在建构和解题，关键在通过解题进一步审视、研读、辨析概念，挖掘内涵，使二者形成知识能力和态度的闭环，从而实现学识水平和人文素养的双提升.