运用转化思想提升学生的数学核心素养

周月容

【摘要】核心素养是指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。数学思想是对数学知识的本质认识和数学规律的理性认识，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。在教学中，引导学生运用数学思想解决和处理数学问题，对于提升学生的数学学科核心素养意义重大。其中，转化思想引领学生在解决有关数学问题时对数学命题进行等价转化或非等价转化，使问题在转化中得到解决。

【关键词】数学核心素养;转化思想;线段的和差关系

数学思想是对数学知识的本质认识和数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。中学阶段的数学思想主要有：数形结合思想、函数和方程思想、分类讨论思想、集合对应思想、转化思想，化归思想以及逻辑思想等。在数学教学中，引导学生运用数学思想解决和处理数学问题，对于提升学生的数学学科核心素养意义重大。其中，转化思想是最常见的数学思想方法，其最基本思路是在解决有关数学问题时对数学命题进行等价转化或非等价转化，使问题在转化中得到解决。现以“线段的和差关系探究”教学中的一道习题的教学为例，对如何运用转化思想引导学生掌握知识，培养学生良好数学素养进行论述。

在复杂多变的几何图形中，探究线段的和差关系的“变”与“不变”是数学解答题中最富有活力的一类题型。这种题型通常是已知在一个较为简单（或特殊）情况下，求证3条线段之间的和、差关系。学生通过思考与探索比较容易得证，然后再设计一个题设、图形变化的数学环境，进一步探索原结论是否成立。在此过程中，让学生逐步形成猜想、推理论证、应用解决问题的能力等良好的数学学科素养。下面以八年级下册第62页习题18.2第15题为例。

四边形ABCD是正方形，G是线段BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF∥ DE，且交AG于点F，求证：AF - BF=EF。（图1）

思路： 笔者引导学生观察图形：由图形可知AF - AE=EF，而题目要求证AF - BF=EF，即只需要证明AE=BF，也就是只要△ABF≌△ADE，问题即可得证。也就是将不在同一条直线的两条线段转化到同一直线上，这就是运用了数学的转化思想。线段的和差问题的探究常常借助于全等三角形的对应边相等， 将不在同一条直线的两条线段转化到同一直线上。

证明：∵DE⊥AG且DE∥BF，

∴BF⊥AG，

∴∠AFB=∠DEA=90°。在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，即∠BAF+∠DAE=90°，在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠DAE=∠ABF。在△ABF和△DAE中，

∠AFB=∠DEA=90°

∠DAE=∠ABF

AB=AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF= AE。∵AF - AE=EF，∴AF - BF=EF。

本引例的解答过程主要借助于全等三角形的对应边相等，将不在同一条直线的两条线段转化到同一直线上，学生在探究的过程中运用了转化思想，将证线段和差转化为证三角形全等。在解决这类问题的过程中，笔者注重引导学生体会知识的形成过程，培养学生解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。

接着，笔者对题目的已知条件进行改变。变形题：“点G是线段BC上的任意一点”改为“点G是线段CB延长线上一点”，其它条件不变，请在图2中画出图形。猜想：线段EF、 BF、 AF之间的关系，并说明理由。

引导分析：

师：点G的位置变了，图形也跟着变了，大家能画出图形吗？（学生试画）师：你觉得AF - BF还等于EF吗？生：不会（观察图形可得到）。师：那可能会有怎样的关系呢？师：猜想它们可能存在的关系？生：EF=AF+BF。师：仿照引例的思路，本题能否也借助证两个三角形全等得出线段相等？还是△ABF和△DAE全等吗？生：是的。師：∠BAF+∠DAE还等于90°吗？角的位置变化了没有？生：角的位置变化了，但是∠BAF+∠DAE还是等于90°。

至此，老师可要求学生仿照引例的方法，独立完成证明过程。

本题首先提供图1的位置情况下三条线段AF、 BF、 EF满足的数量关系，并且给出了结论成立的逻辑推理过程，然后改变G点的位置，使问题中的几何元素之间的相对位置发生变化，进一步探究结论的“变”与“不变”，事实上也检测了学生的类比猜想的推理能力。要验证猜想的正确与否，就必须抓住问题证明过程中的关键——运用转化思想把证线段的和、差关系转化为证明△ABF≌△DAE。

下面，用上面的方法再引导学生进行此类型题的探究。

例：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕着点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M、N;当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，如图1，易证BM+DN=MN。

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。

（2）当∠MAN绕着点A顺时针旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

小题（1）思路分析：观察图形，可以猜想BM+DN=MN。由于线段BM、DN不在同一直线上，可以考虑将它们转移在同一直线上（线段DN转移到线段BM所在的直线或是线段BM转移到线段DN所在的直线）。在这里，将线段DN转移到线段BM所在的直线的方法来分析（另一转移法让学生课后完成）。证明过程略。

小题（2）思路分析：观察图形，可以猜想：DN–BM=MN。仿照（1）小题在线段CB的延长线上取BF=DN，易证△ABF≌△ADN（SAS），所以BF=DN;AF=AN;∠BAF =∠DAM ;由于BF-BM=MF，那么只需证明MF=MN，即证明△AMF≌△AMN;跟小题（1）有变化的是证明全等的角关系变化了，因为∠MAN=45°，即∠BAM+∠BAN=45°①，由正方形的性质知∠DAN+∠BAN=90°②，②-①得： ∠DAN -∠BAM=45°，所以∠BAF -∠BAM=45°（等量代换），即∠FAM=45°，所以∠FAM=∠NAM，易得△AMF≌△AMN，所以MF=MN，由等量代换得DN – BM=MN，结论得证。证明过程略。

课堂反思：解答本题的关键是构造全等三角形，运用转化思想将线段DN转移到线段BM所在的直线上，同时为下面要证△AMF≌△AMN创造条件。

事实证明，在教学过程中，引导学生重视数学思想的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的认知结构，优化学生思维品质，提高学生认识问题，解决问题的能力，提升学生的数学素养。

总之，数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，数学思想不仅提供思维策略，而且提供实施目标的具体手段。教学时，积极进行数学思想方法的渗透，将极大地促进学生的数学学科核心素养的发展与提升。

参考文献：

[1]王锋 .一类变化图形中线段和差关系的探究[J].试题与研究：中考版， 2011.

[2] 肖德好.全品大讲堂[M].北京：开明出版社，2014.