基于核心素养下“三内角和定理”的反思

摘 要：三角形内角和定理等价于平行公理，对三角形内角和定理的教学历来都是初中几何教学的重要课程，教学过程中教师对教学的内容、教学现状的把握和自我的定位有着重要的指导意义，研究旨在以“核心素养”教育理念为指导，以“三角形内角和定理”教学案例为例，对初中几何数学教学提出教学思考和建议。

关键词：三内角和定理;教学案例;初中数学教学

由罗增儒教授主讲的“第五届基于核心素养的数学教师专业发展高级研修班”于2019年8月12至14日在陕西师范大学雁塔校区举办。笔者作为学员第一次零距离聆听大师的讲解，深感幸运。因为这次的学习既不是学校的安排，也不是工作室的学习，纯粹的是因为关注的中学数学参考公众号，发现假期有个讲座，抱着看看、丰富自己的态度来体验的。经历培训后感受到了一个中学教师的魅力应该是怎样的，感觉到对于今后自己的模样看得见摸得着的感觉，也从心底感受到了数学教学文化的厚重感。借用罗增儒教授的话，我很赞同“数学家创造数学，数学教师创造数学的理解”这种观点，从小我们有个数学家的梦想，现在明白数学家和数学教育家是很有区别的，这种界定要在心中明确，原来我是个搬运工。

培训回来后，意识到自己处于数学教育改革的转折点，也意识到区里举行的核心素养教研并非是口号、是形式，而是数学教学所应追寻的更高阶教学，理解并实行核心素养教学是现今教师专业发展的品质培养进阶之路。就以罗增儒教授在8月14日上午《案例分析与教师专业发展》中提到了三角形内角和定理的一个教学案例，谈谈我的体会。

一、 三内角和定理的教学现状

在文中，课堂教学前，教师布置给学生预习思考题：三内角和等于180°，你能用几种方法证明这个结论？通过老师的引导和学生的思考不同的证法。

文中采取提问：三角形三个内角有什么关系？（当然，具体问的是数量关系），经过学生的测量与思考“发现”三内角和等于180°，从而受到启发，在教师的帮助下完成证明。文中，通过老师的引导和学生的思考展现了学生7种不同的证法（详请参阅文献[1]），对于这7种方法是否都是通过学生的自主探索而得到的（学生会查资料），不得而知（毕竟课堂只有45分钟，完全依赖于学生的创新难度大），但是这种前置探究的方式确实是一种新的教学尝试。

文中采取“体验”的方式设置特定的数学活动，如通过量角器“量一量”三内角再求和、利用“折纸”或者“剪拼”再观察的方式对情景中的问题通过动手操作，主动认识和验证研究对象的特征，从而获得一些经验，促进学生的数学领悟。

通过老师的引导和学生的思考呈现了7种不同的证法（详请参阅文献[1]），在教学中我们大多会发现学生用如下几种方法：

方法1（实验操作）

1. 借助量角器测量给定三角形的三个内角再求和，估算和猜测得到“三角形三内角和等于180°”。

2. 通过手工操作的方式，将三角形沿如图1的折痕翻折或者如图2方式裁剪拼凑，操作后得到“三角形三内角和是一个平角”。

方法2（几何证明）

1. 证明：如图3，过点C作∠A=∠ACE，延长BC于点D

∵∠A=∠ACE

∴CE∥BA（内错角相等，两直线平行）

∴∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠2+∠C（等量代换）

=180°（平角的定义）

2. 证明：如图3，延长BC于点D，过点C作∠A=∠ACE（略）

思考：1采取先作∠A=∠ACE再延伸BC于点D，而2先延伸BC于点D再作∠A=∠ACE，自然而然有個问题，就是CE为什么会在∠ACE的内部？二者之间看似只是顺序的改变，实则都是默认了外角大于内角的定理应用，而此时学生并未证明过该定理。所以这样的描述方式有逻辑循环的嫌疑，我们应该提醒学生有这方面的思考，既为后面“三角形内角和定理的推论”作铺垫，也培养了学生的思维严谨性。

改进：过点C作CE∥BA（CE的唯一性，避免了讨论∠ACE的位置），延伸BC于点D。因此，也可以有图3、图4的辅助线添加方式。

3. 证明：如图4，过点C作CD∥BA。

∵CD∥BA

∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）

∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠B+∠C

=∠1+∠B+∠C

=∠B+∠BCD

=180°（等量代换）

4. 证明：如图4，过点C作∠1=∠A。（略）

思考：3采取作平行线，注意取的哪个角（如图取∠1）要说明，4采取在△ABC外部作已知角，二者利用都是利用前面所学的平行线的判定和性质这一知识解决问题，符合学生的实际。当点C在三角形内部或者外部时，仍成立，读者可自行证明。

总结初中几何证明步骤：（三段论）

第一步：将三个内角的和角转化到一个新的角上

第二步：新的角是平角

第三步：三个内角的和等于180°

方法3（代数方程）

分析：如图5，过点A作射线AD交BC于点D

则∠A=∠1+∠2，∠BDC=∠3+∠4=180°

由于我们讨论的是三角形的内角和度数问题，即隐含三角形内角和是一个确定的值，既然学生已学一元一次方程，那么不妨将三角形内角和看作未知数，将证明题转化为求方程的解的问题。

解：设三角形的内角和为x。则在△ABC、△ADB、△ADC中有：

∠1+∠B+∠3=x

∠2+∠4+∠C=x

∠BAC+∠B+∠C=x

∴∠1+∠B+∠3+∠2+∠4+∠C=2x

∠3+∠4+∠1+∠2+∠B+∠C=2x

∠3+∠4+∠BAC+∠B+∠C=x

180°+x=2x

解得：x=180°

二、 三内角和定理包含的核心素养

通过上面的案例展示和研究，我认为包含着逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象的核心素养。学生数形结合，通过图形的测量、剪拼找到三内角和的关系或转化途径;角的分割、转移、合并，产生求和式的拆项、交换和结合转化为数量关系，在辅助线的添加过程中，变中含有不变。角的改变，而和不变。既如此，从方程角度思考，其和为不变量，则三内角和是一个定值，将未解决或较难的三角求和问题化为已解决或较易解决的加法运算或一元一次方程问题，这些都需要学生的运算能力。

三、 总结与建议

我们习惯从图形上将角进行拆凑，却容易忽视背后所对应量的值之间的加减运算关系，因为中间有了数形结合的思想方法，二者的衔接就是教师应该做的事情。作为教师，应该用我们的“双眼”发现生活中的数学原型和数学应用，然后再“搬”到学生的面前，褪去“数学”的外套，让学生零距离的感知“数学”，而不应该仅仅将数学教学落脚于学科知识和思想方法的传授，现今的挑战是如何抓住其背后包含的核心素养，帮助学生跨过数学思维的难关，成为用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，成为一个擅观察、勤思考，好交流的21世纪新学生。

参考文献：

[1]陈恩忠.《三角形内角和定理》教学实录与反思[J].初中数学教与学，2015（8）：17-18.

[2]罗增儒.点评：教师的设计要适合学生的实际[J].中学数学教学参考，1996（6）：20-22.

[3]邓清，夏小刚.基于“三教”理念的初中几何教学的认识与思考-以“三角形内角和定理”的教学为例[J].中国数学教育（初中版），2019（6）：22-24.

[4]龙显邦.三角形内角和定理证明方法[J].数学学习与研究，2011（14）：97-98.

作者简介：

沈艳，贵州省贵阳市，溪南高中。